- •Дискретная математика.
- •Множества.
- •Примеры
- •Или по другому
- •Операции над множествами.
- •Основные свойства операций над множествами.
- •Алгебра высказываний.
- •Логические операции над высказываниями.
- •Отрицание.
- •Конъюнкция.
- •Эквиваленция
- •Импликация.
- •Формулы алгебры высказываний.
- •Элементарные высказывания, символы логических переменных – формулы;
- •Если f1 и f2 – формулы алгебры высказываний, то
- •Других формул алгебры высказываний нет.
- •Равносильность формул.
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Приведение формулы к сднф.
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Приведение формулы к скнф.
- •Минимизация днф.
- •Способы задания булевых функций.
- •Табличный способ задания.
- •Графический способ задания.
- •Аналитический способ задания.
- •Элементы теории графов.
- •Матрицы графов.
- •Некоторые общие понятия теории графов.
- •Взвешенные графы и алгоритмы поиска кратчайшего пути.
- •Задача о кратчайших путях.
- •Элементы теории алгоритмов.
- •Понятие автомата.
- •Машина Тьюринга.
- •Автомат Мили.
- •Правило суммы.
- •Правило прямого произведения.
- •Размещения с повторениями.
- •Размещения без повторений.
- •Перестановки.
- •Сочетания.
- •Сочетания с повторениями.
Отрицание.
Определение. Отрицание – унарная логическая операции (т.е. применимая к одному высказыванию). Отрицание соответствует конструкциям «Не …», «Неверно, что …».
Отрицание высказывания а обозначается и определяется следующей таблицей
-
0
1
1
0
Очевидно, имеет место свойство .
Это свойство называется законом двойного отрицания.
Перейдем далее к определению бинарных (т.е. применимых к паре высказываний) операций.
Конъюнкция.
Конъюнкция (логическое умножение) соответствует союзу «и» в русском языке.
Определение.
Конъюнкцией высказываний a и b называется высказывание, обозначаемое и определяемое следующей таблицей
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
т.е.конъюнкция ab
истинна тогда и только тогда, когда
истинны оба высказывания а и b.
Имеют место следующие свойства:
ab
≡ ba
a1
≡ a
a0
≡ 0
a
a ≡ a
- закон идемпотентности.
Дизъюнкция.
Дизъюнкция (логическое сложение) соответствует неразделительному «или» в русском языке.
Определение.
Дизъюнкцией высказываний а и b называется высказывание, обозначаемое ab и определяемое следующей таблицей
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
т.е. дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания а и b.
Имеют место следующие свойства:
-
ab ≡ ba – коммутативность
-
a1 ≡ 1/
-
a 0 ≡ a,
-
aa ≡ a – закон идемпотентности.
Эквиваленция
Эквиваленция (равносильность) соответствует в русском языке конструкции «тогда и только тогда».
Определение.
Эквиваленцией высказываний a и b называется высказывание, обозначаемой a ~ b (a ↔ b) и определяемое следующей таблицей:
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Отсюда следует, что эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда образующие ее высказывания a и b имеют равные значения истинности.
Имеют место следующие свойства:
-
а ~ b ≡ b ~ a – коммутативность.
-
a ~ 1 ≡ a.
-
a ~ 0 ≡
Импликация.
Импликация соответствует конструкции «Если …. то».
Определение. Импликацией высказываний a и b называется высказывание, обозначаемое a → b ( и определяемое следующей таблицей
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
т.е. импликация ложна тогда и только тогда, когда a – истина, а b – ложь.
a – посылка, b − заключение.
Восприятию определения импликации сопротивляется, хотя в математике оно очень часто нами используется. Из арифметики известна теорема «если целое число делится на шесть, то оно делится на два» − высказывание Q. Высказывание а(x) – «число делится на шесть»; высказывание b(x) – «число делится на два», тогда Q(x) ≡ a(x) → b(x). Ясно, что при x = 6, 2, 3 реализуются четвертая, вторая и первая строки. Однако, нельзя подобрать число для третьей строки.
Но можно привести и другие примеры. Например, «если сын сдаст сессию на отлично, то отец купит ему машину. В нашем случае события а и b могут быть концептуально совсем не связаны. Возможны импликации вида «Если сегодня четверг, то 2 х 2 = 5». Эта импликация верна во все дни, кроме четверга.
Приведенные операции не являются независимыми. Одни из них могут быть выражены через другие.
Теорема 1.Справедливы следующие равносильности:
Докажем с помощью таблицы истинности первое соотношение.
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 1 1
Справедливость первого соотношения доказывается тождественностью последних столбцов.
Из приведенных равносильностей видно, что → и ~ выражаются через
Можно показать, что через операции можно выразить любую операцию алгебры высказываний. Поэтому в дальнейшем основное внимание уделяется этим операциям, которые называются булевскими (булевыми) операциями алгебры высказываний. Джордж Буль (1815 – 1864) – английский математик, основатель символической логики, которую теперь принято называть булевой алгеброй.
Теорема 2. Справедливы следующие равносильности для булевой алгебры высказываний: