Приклад розв’язання задачі 11
|
Вихідні дані: |
F = 100 кН, l = 2,8 м.
|
Розрахункова схема й вид перерізу стрижня - на рис.26.
Розв’язання
1. Визначаємо геометричні характеристики заданого перерізу:
А=а2 – (0,6а)2 = 0,64а2 , (1)
.
Т.я. для даного виду перерізу головні моменти інерції Iz =Iy , то втрата стійкості стрижня може відбутися в будь-якій головній
Рисунок 26.
площині, тому в подальших розрахунках приймаємо:
Imin= Iy = Iz=0,0725a4.
Радіус
інерції:
.
Гнучкість
стрижня:
,
де µ = 0,5 відповідно до умов закріплення кінців стрижня.
Перше наближення
Приймаємо
довільне значення коефіцієнта φ
=0,5,
тоді, з умови стійкості:
,
м2.
(2)
З рівнянь (1) і (2) знаходимо: 0,64а2 = 1,25·10 -3,
.
Гнучкість
.
По таблиці 1.3, стор. 570 [1] для сталі Ст 4, 3, 2 знаходимо коефіцієнт φ для λ =94, користуючись методом лінійної інтерполяції.
Для λ=90 - φ = 0,69, а для λ=100 - φ = 0,6. Для Δλ=10 - Δφ=0,09,а для Δλ=4 - Δφ=х
Складаємо
пропорцію і знаходимо
,
φ = 0,69 – 0,036 = 0,654 для λ=94.
Отже, прийняте φ = 0,5 занижено.
Друге наближення
,
м2,
,
.
Для λ = 101 (по аналогії з попередніми обчисленнями) знаходимо використовуючи метод лінійної інтерполяції φ = 0,592.
Третє наближення
,
м2,
.
Далі знаходимо значення φ = 0,588, використовуючи метод лінійної інтерполяції (по аналогії з попередніми обчисленнями). Це значення φ дуже близько до прийнятого в розрахунок φ = 0,5845. На цьому можна закінчити наближення.
Визначимо напруження, що виникає в стрижні:
Н/м2
= 93,46 МПа.
Допустиме напруження: [σy] = φ[σ] = 0,588·160 = 94,08 МПа.
Умова стійкості задовольняється, відсоток недонапруження дорівнює:
,
що цілком припустимо (норма - ± 5%).
2. Визначимо величину критичної сили.
Т.я.
гнучкість λ
= 101,5
більше граничної гнучкості для сталі
(λгран≥100),
то для розрахунку критичної сили
застосовуємо формулу Ейлера:
,
де Imin= 0,0725a4 = 0,0725·0,04094 = 20,29·10 -8 м4,
Е=2·105 МПа = 2·108 кН/м2- модуль Юнга для сталі.
.
Коефіцієнт
запасу стійкості дорівнює:
,
що відповідає нормі: [kу]=1,5 - 2,5.
Приклад розв’язання задачі 12
|
Вихідні дані: |
l = 6м, h = 4м, q = 6 кН/м, F = 1,2 кН, а = 0,8 м, b = 0,6 м. |
Розрахункові схеми показані на рис. 27 (а й б).
Розв’язання
Схема а
1. Установимо степінь статичної невизначеності. Невідомих реакцій – 4 (дві – в опорі А і дві – в опорі В). Можливих рівнянь статики для даної системи – 3. Тому степінь статичної невизначеності дорівнює 1. Виберемо основну систему, для цього відкинемо одну зайву в’язь (наприклад, в опорі В) і замінимо її дію невідомою реакцією Х1.
2.
Запишемо канонічне рівняння методу
сил:
.
3.
Будуємо епюри М від заданого навантаження
(Mq)
і від одиничної сили
а) Вантажна система
Опорні
реакції: ΣY=0,
,
кН.
ΣМА=0,
,
кН,
RA=RB=2кН.
Будуємо епюру Mq.
б) Одинична система
Опорні
реакції: ΣY=0,
,
кН.
ΣМА=0,
,
кН,
RA
= RB
=
кН.
Будуємо
одиничну епюру
.
4. Визначаємо переміщення.
Для
визначення δ11
перемножимо епюри
на
будь-яким способом, наприклад – по
методу Верещагіна:
Для
визначення Δ1q
перемножимо епюри
на
:
5. Визначаємо Х1 з канонічного рівняння:
кН.
6. Будуємо епюри Q, M, N з урахуванням знайденого невідомого Х1=1,45 кН.
Опорні реакції:
ΣМА=0,
,
6·2·1+1,45·2
-
RВ·6
= 0,
кН,
RA = RB = 2,48 кН.
ΣY=0,
,
НA = 6·2 – 1,45= 10,55 кН.
Епюри M, Q, N показані на рис.12а
Рисунок 27а.
Рисунок 27а.
Схема б
1. Степінь статичної невизначеності заданої рами дорівнює 1, тому що невідомих реакцій – 7 (6 - в затисненні, тому що система просторова, і 1 - в опорі В), а можливих рівнянь статики - 6.
Для вибору основної системи відкинемо зайву опору В и замінимо її дію реакцією Х1.
2.
Канонічне рівняння методу сил:
.
3.
Будуємо епюри М и Т заданого навантаження
F
(MF
і TF
) і від одиничної сили
=1
(
і
).
4.
Переміщення δ11
визначаємо, перемножуючи епюри
на
й
на
,
з огляду на, що G
= 0,4 E,
IP=2·Ix,
тобто
GIP=0,8
EIx.
Переміщення
Δ1F
визначаємо, перемножуючи епюри MF
на
й ТF
на
:
5.
Знаходимо Х1:
кН.
Т.я. Х1 зі знаком (+), значить, що її напрям обраний вірно. В противному випадку потрібно змінити напрам Х1 на протилежний.
6. Будуємо остаточні епюри M, T, Q (рис.27б).
Рисунок 27б.
Рисунок 27б.