4.1.2. Физические приложения криволинейного интеграла I рода

a) Вычисление массы плоской материальной кривой с линейной плотностью  – масса кривой с плотностью

b) Вычисление статических моментов относительно осей и соответственно:

c) Определение моментов инерции кривой относительно осей и соответственно

d) Определение момента инерции кривой относительно начала координат

e) Определение моментов инерции кривой относительно осей и соответственно

Приведенные выше формулы a)-e) имеют естественное обобщение на трехмерное пространство:

Если  – пространственная кривая и  – линейная плотность, то формулы для вычисления соответствующих физических величин будут выглядеть следующим образом:

a) Вычисление массы

b) Вычисление статических моментов относительно координатных плоскостей

c) Определение координат центра масс кривой

d) Определение момента инерции кривой относительно начала координат

e) Вычисление моментов инерции кривой относительно осей координат (моменты 2-го порядка)

Согласно определению статического момента кривой относительно прямой, статические моменты кривой относительно координатных осей будут вычисляться по формулам:

Вычислим указанные выше параметры a)-e) для одного витка -спирали, намотанной на цилиндр радиуса R с шагом

Задача 1. Вычислить значение параметров определенных в пункте а) из 1, если кривая определена соотношениями: а плотность постоянна вдоль кривой.

Решение: а) спирали, намотанной на цилиндр

b)

с) Таким образом, центр тяжести имеет координаты Заметим, что

d)

e)

Легко видеть, что

Задача 2. Вычислить значение всех параметров из пунктов a)-e) раздела 1 для прямолинейного отрезка плотности

Решение.

a) . Параметризуем

b)

c)

d)

e)

Очевидно, что

Задача 3. Найти статический момент и момент инерции дуги астроиды с линейной плотностью

Решение. Параметризуем дугу полагая, что

Тогда

Криволинейный интеграл I рода позволяет вычислить силу притяжения материальной точки массы материальной кривой

Задача 4. Найти проекцию на оси координат силы, с которой материальная однородная дуга окружности массы притягивает материальную точку массы

Решение. Координаты проекции силы вычисляются по формуле: где  – гравитационная постоянная,  – угол между и Очевидно, что Плотность

Таким образом,

Решить самостоятельно следующие задачи.

5. Найти массу и центр тяжести материальной кривой с линейной плотностью если

6. Найти координаты центра тяжести контура однородного сферического треугольника:

Поверхностью уровня функции называется множество точек в таких, что для некоторого

7. Найти поверхности уровня скалярного поля

8. Найти поверхности уровня функции где  – фиксированный вектор

9. Найти поверхности уровня функции

10. Найти поверхности уровня функции где

4.1.3. Криволинейный интеграл II рода

Криволинейный интеграл 2-го рода определяется для векторного поля вдоль кривой

Физический смысл этого выражения – работа силы вдоль пути на отрезке

Формула Грина:

Здесь  – замкнутый контур, ограничивающий область D, направление обхода контура таково, что область D остается слева.

Задача 11. Вычислить работу A переменной силы а) вдоль первого витка спирали б) вдоль отрезка где в) вдоль ломаной

Решение: а)

б) параметризация отрезка такова:

в)

Т.е. работа зависит от формы пути, поэтому поле не является потенциальным. Иначе говоря, не существует такого скалярного поля для которого бы выполнялись одновременно 3 равенства:

Задачи для самостоятельного решения: [5, с. 146–147]; [10, с. 86–90] или [4, с. 160–161].

12. Вычислить криволинейный интеграл II рода по следующим кривым: а) б) в) соединяющими точку с точкой

13. Вычислить

14. Вычислить

15. Вычислить где  – пересечение сферы с частями координатных плоскостей, ограничивающих первый октант.

Задача 16. Используя формулу Грина вычислить криволинейный интеграл где  – верхняя полуокружность

Решение. Положим и, следовательно, Поэтому

Задача 17. Вычислить криволинейный интеграл где

Решение.

поэтому