2.7.2. Простейшие задачи статики

Статика – это раздел механики. Как известно, механику подразделяют на кинематику и кинетику. В кинематике изучается движение тел с геометрической точки зрения, без учета причин, вызывающих изменение этого движения, то есть сил. Кинетика посвящена изучению движения материальных тел в зависимости от действия на них сил и разделяется на статику и динамику. Статика – учение о равновесии тел под действием сил, а динамика– учение о движении тел под действием сил. В динамике решается более общая задача, нежели в статике: по данным силам, действующим на тело, определить движение этого тела, и наоборот – по данному движению тела найти силы, на него действующие.

Данный параграф посвящен простейшим задачам статики, решение которых сводится к использованию условия равновесия тела. Как известно, тело находится в покое тогда и только тогда, когда равнодействующая всех сил, действующих на него, и главный момент этих сил относительно произвольной точки пространства равняются нулю.

58. К концам А и В невесомого стержня АВ приложены две силы, изображаемые двумя коллинеарными и сонаправленными векторами и Найти вектор, изображающий равнодействующую этих сил (рис. 9).

Рис. 9

Решение. Пусть (рис. 9). В точках А и В – точках приложения этих сил, приложим две равные по величине и противоположно направленные силы и лежащие на прямой АВ. Построим векторы и Найдем точку пересечения прямых, на которых лежат векторы и Отложим векторы и от точки получим векторы и (). Разложим векторы и на составляющие, одна из которых совпадает соответственно с векторами и где Тогда Таким образом, вектор есть диагональ параллелограмма, построенного на векторах и На этой диагонали лежат векторы и которые направлены в одну сторону. Поэтому равнодействующая этих сил лежит на этой же прямой, параллельной линиям действия сил и и сонаправлена векторам и Пусть точка С – пересечение [АВ] с прямой, определенной точкой О и вектором Тогда из подобия треугольников заключаем также, что Отсюда находим

Итак, равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, им параллельна, направлена в ту же сторону и равна по модулю сумме их модулей. Линия действия равнодействующей делит отрезок АВ в отношении, обратно пропорциональном модулям этих сил. Поэтому радиус – вектор точки С – точки приложения равнодействующей, выражается через радиус- векторы точек приложения заданных сил по формуле

59. К концам А и В невесомого стержня АВ приложены две параллельные и противоположно направленные силы, изображаемые векторами и Найти вектор, изображающий равнодействующую этих сил.

60. Груз массой 1 т поддерживается двумя стержнями АВ и СВ, прикрепленными к стене посредством шарниров. Каковы векторы, изображающие усилия, возникающие в стержнях, если (Рис.10).

Рис. 10	Рис. 11

Решение. Обозначим усилие в стержне АВ через а в стержне СВ – через (Рис.10). Разложим вектор по векторам и Для этого выберем систему координат: (рис. 10). Тогда Ортами для векторов и будут соответственно векторы и Из последнего равенства найдем

Теперь Отсюда заключаем, что

61. Фонарь весом Р = 20 кг (рис. 11) подвешен к столбу на кронштейне. Длина горизонтального стержня АВ = 60 см, длина подкоса ВС = 100 см. Определить силу, растягивающую стержень АВ, и силу сжатия подкоса ВС.

62. К двум тросам подвешен груз массой 30 кг (рис. 12). Определить силы, возникающие в тросах, если АСВ = 120⁰.

63. Груз массой 60 кг поддерживается двумя стержнями – АВ и СВ (рис. 12). Определить силы, возникающие в тросах, если АСВ = 90⁰, АВС = 30⁰.

Рис. 12	Рис. 13

64. К вершине треножника подвешен груз массой 20 кг. Найти силы, возникающие в ножках треножника, если ножки треножника взаимно перпендикулярны, а веревка, поддерживающая груз, составляет с двумя ножками углы, равные 60⁰ (рис. 14 ).

Рис. 14	Рис. 15

65. Груз массой 30 кг подвешен в точке D опоры, состоящей из трех стержней DA, DB и DC (рис. 15). Два горизонтальных стержня DA и DB равны по длине и взаимно перпендикулярны, стержень DC образует равные углы со стержнями DA и DB и угол, равный 60⁰ с горизонтальной плоскостью ADB. Найти силы, возникающие в стержнях.

66. Груз Р подвешен в середине троса АВС, прикрепленного к крюкам А и С. Определить векторы изображающие натяжения нитей на участках АВ и ВС, если длина троса равна 2а а (рис. 16).

Рис. 16	Рис. 17

67. Лампа подвешена на шнуре и оттянута горизонтальной оттяжкой. Найти силу натяжения шнура АВ и горизонтальной оттяжки ВС, если вес лампы 1 кг, а угол (рис. 17).

68. К свободному концу кронштейна подвешен груз весом 90 кг (рис. 18). Определить силы, действующие на стержни АС и АВ, если

Рис. 18	Рис. 19

69. Два трамвайных провода С и D (рис. 19) подвешены на тросе, идущем поперек пути. Вес каждого провода, приходящегося на трос, равен 15 кг. Каковы силы действия троса на точки подвеса А и В? С какой силой растянута его средняя часть CD если AC = DB = 6 м, КС = LD = 1 м?

70. К концу стержня АС (рис. 20) длиной 2 м, укрепленного одним концом в стене, а с другого конца поддерживаемого тросом ВС длиной 2,5 м, подвешен груз 1200 кг. Найти силы, действующие на трос и стержень.

Рис. 20	Рис. 21

71. Стенной кран имеет подкос ВС длиной 4 м, тягу АС длиной 3 м (рис. 21). Расстояние между точками А и В равно 1,5 м. Найти силы, действующие на тягу и подкос, если вес груза 2 т.

72. Груз Q = 100 кг поддерживается брусом AO, наклоненным под углом 45⁰ к горизонту, и двумя горизонтальными цепями ВО и СО одинаковой длины, СВО = ВСО = 45⁰. (рис. 22). Найти усилие S в брусе АО и натяжение цепей ВО и СО.

73. Переносный кран, поднимающий груз массой Q = 2 т, устроен так, как показано на рис. 23. АВ = АЕ = АF = 2 м, EAF = 90⁰, вылет крана СК = 5 м, плоскость крана АВС делит угол EAF пополам. Определить силу, сжимающую вертикальную стойку ВА, и силы, растягивающие тросы ВЕ и BF крана.

Рис. 22	Рис. 23

74. В точках А, В, С, лежащих на осях прямоугольной декартовой системы координат на одинаковых расстояниях 1 от начала координат О, закреплены стержни длины скрепленные в точке D, в которой подвешен груз Р. Определить силы действующие на стержни (рис. 24).

75. Определить напряжения в стержнях АО, АВ и АС тетраэдра ОАВС, у которого к вершине А приложена сила (рис. 25). При этом предполагается, что

Рис. 24	Рис. 25