Глава 5. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных ([1] Гл.: 12, 13)
Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных. Частные приращения функции нескольких переменных, частные производные. Производные сложной и неявной функций.
Полное приращение функции. Полный дифференциал, его геометрическое истолкование. Частные производные высших порядков. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Дифференциальная геометрия. Касательная и нормаль. Кривизна плоской кривой. Огибающая. Эволюта, эвольвента. Кривые в пространстве. Кривизна, кручение. Касательная, нормаль, бинормаль поверхности. Касательная плоскость.
Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.
Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием. Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Площадь поверхности. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства, примеры вычисления. Определение поверхностных интегралов, их свойства, примеры вычисления. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета- функции.
Глава 6. Дифференциальные уравнения ([1] Гл.: 15)
Дифференциальные уравнения как модели основных законов природы. Определения дифференциального уравнения, его порядка, решения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения. Свойства дифференциального оператора. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения, структура общего решения. Метод Лагранжа. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для линейного однородного уравнения. Виды общего решения линейного однородного дифференциального уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения. Метод неопределенных коэффициентов для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений в нормальной форме.
Глава 7. Теория рядов ([1] Гл. 14)
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия. Необходимое условие сходимости ряда. Действия над сходящимися рядами. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящегося ряда.
Функциональные ряды, область сходимости, равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости. Равномерная сходимость степенных рядов. Интегрирование и дифференцирование. Ряд Тейлора. Единственность разложения функции в степенной ряд. Разложение функций в степенные ряды. Нормированные и гильбертовы пространства. Сходимость по норме. Полнота. Ортонормированные системы, полнота и замкнутость. Ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Неравенство Бесселя. Тригонометрический ряд Фурье. Интеграл Фурье.
Контрольная работа 1. Линейная и векторная алгебра ([2] Гл. 4, 2)
Задача 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти её решение с помощью формул Крамера; 2) решить методом Гаусса; 3) записать систему в матричной форме и решить её средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 2. Коллинеарны
ли векторы
и
,
построенные по векторам
и
?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 3. Найти
косинус угла между векторами
и
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 4.
Вычислить площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 5. Написать
разложение вектора
по векторам
,
и
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 6. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
Контрольная работа 2. Аналитическая геометрия ([2] Гл. 1, 3)
Задача 1.
Привести уравнение кривой второго
порядка
к каноническому виду и найти точки
пересечения её с прямой:
.
Найти уравнение серединного перпендикуляра
отрезка между точками пересечения, а
также длину отрезка. Построить графики
кривой, прямой и перпендикуляра.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 2.
Необходимо: 1) построить по точкам график
функции
в полярной системе координат. Значения
функции вычислить в точках
;
2) найти уравнение кривой в прямоугольной
декартовой системе координат, начало
которой совмещено с полюсом, а положительная
полуось
- с полярной осью; 3) определить вид
кривой.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 3. По
координатам вершин пирамиды
найти: 1) длину ребра
;
2) угол между ребрами
и
;
3) угол между гранями
и
;
4) уравнение прямой, проходящей через
вершину
и центр тяжести грани
;
5) длину и уравнение высоты из вершины
на грань
;
6) расстояние между скрещивающимися
ребрами
и
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 4. Написать
канонические и параметрические уравнения
заданной прямой, а также уравнение
плоскости в «отрезках», перпендикулярной
данной прямой и проходящей через точку
.
Построить плоскость.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости, а также угол между ними.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Контрольная работа 3. Введение в математический анализ.