Варианты заданий

1. Преобразовать формулы к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам:

а) (((A  B)  (C  A))  (B  C));

б) (((((A  B)  A)  B)  C)  C);

в) ((A  (B  C))  ((A  C)  (A  B))).

2. По данному набору значений переменных построить элементарную конъюнкцию, истинную только для этого набора значений переменных.

3. По данному набору значений переменных построить элементарную дизъюнкцию, ложную только для этого набора значений переменных.

4. Привести к совершенной дизъюнктивной нормальной форме, то есть найти СДНФ, эквивалентную данной формуле:

а) ((  С  С;

б) (((А 

в)    .

5. Привести к совершенной конъюнктивной нормальной форме, то есть найти СКНФ, эквивалентную данной формуле:

а) С С;

б)  )С)));

в) С))  С)).

6. Построить формулу U такую, чтобы данная формула была тождественно истиной:

а) U Q) Q)  U));

б) (((RQ  U) U Q)  R)).

7. Для функций g и h, определённых в таблице 1, найти СКН - и СДН – формы и простейшие формулы, реализующие эти функции.

8. Составить две булевы функции, планирующие 1-разрядный двоичный сумматор по следующей таблице

x1	x2	e1		e2
1 1 0 1 1 0 0 0	1 0 1 1 0 1 0 0	1 1 1 0 0 0 0 1	1 0 0 0 1 1 0 1	1 1 1 1 0 0 0 0

где x₁ и x₂ - одноимённые разряды 1-го и 2-го слагаемых; e₁ - единица переноса из младшего разряда; e₂ – единица переноса в старший разряд суммы;  - результат суммирования.

9. Построить формулу от трёх переменных, которая истинна в том и только в том случае, когда ровно две переменные ложны.

10. Построить формулу от трёх переменных, которая принимает такое же значение, как и большинство (меньшинство) переменных.

11. По СКНФ формулы U построить:

а) СДНФ двойственной формулы U^*;

б) СКНФ формулы U;

в) СДНФ формулы U.

12. По СДНФ формулы U и СДНФ формулы B построить:

а) СКНФ и СДНФ формулы (U  B);

б) СКНФ и СДНФ формулы (U  B);

в) СКНФ и СДНФ формулы (U  B).

5. Полные системы операций. Алгебра Жегалкина

Система операций  называется полной, если любая логическая операция может быть представлена формулой над .

Так как всякая формула может быть представлена приведенной формулой, то система ₀ = {, , } - полна. Полной будет и любая система , через операции которой можно выразить конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.

Если все операции полной системы ^* представимы формулами над системой , то  полна, в этом случае говорят, что  сводится к ^*.

Алгебра над множеством логических функций с двумя операциями  и  называется алгеброй Жегалкина. В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения:

, ,

, ,

а также ассоциативность, коммутативность, идемпотентность конъюнкции и свойства констант.

Задание. Доказать полноту системы ₅ = {, }.

Решение. Сведем систему ₅ к полной системе ₀.

.

Доказательство неполноты системы операций необходимо проводить в терминах булевых функций.

Система булевых функций F называется полной, если любая функция может быть реализована формулой над F.

Замыканием множества F (обозначается [F]) называется множество всех булевых функций, реализуемых формулами над F. Класс функций называется замкнутым, если [F] = F. Примеры замкнутых классов.

1. Класс функций, сохраняющих 0.

.

2. Класс функций, сохраняющих 1.

.

3. Класс самодвойственных функций.

.

4. Класс монотонных функций.

, где

.

5. Класс линейных функций.

.

Теорема 5.1 (Поста). Система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую 0, хотя бы одну функцию, не сохраняющую 1, хотя бы одну несамодвойственную функцию, хотя бы одну немонотонную функцию и хотя бы одну нелинейную функцию.

Если в произвольной формуле алгебры Жегалкина, реализующей булеву функцию f, раскрыть скобки и произвести все возможные упрощения, то получится формула, имеющая вид суммы произведений, то есть полинома по mod 2. Такая формула называется полиномом Жегалкина для данной функции. Таким образом, линейной называется функция, полином Жегалкина которой линеен.

Задание. Представить формулу (x₁  x₂)( x₁x₃) в виде полинома Жегалкина.

Решение.

(x₁  x₂)( x₁x₃) = ( x₁x₂ x₁ x₂)( x₁x₃ x₁x₃) =

= x₁ (x₂  1) x₃  x₁ x₂ x₃  x₁ x₃  x₁ x₂ x₃  x₁ (x₂  1) =

= x₁ x₂ x₃  x₁ x₂  x₁

Теорема 5.2. Для всякой логической функции существует полином Жегалкина, и притом единственный.

Варианты заданий.

1. Доказать полноту систем операций:

а) ₁= {, ^}; б) ₂= { , ^};

в) ₃ =   ; г) ₄ =  ;

д) ₅ = {, }; е) ₆ = {, }.

2. Доказать неполноту систем операций:

а) ₁ = {, , }; б) ₂ = {};

в) ₃ = {,,,}.

3. Представить формулу в виде полинома Жегалкина:

а) x₁  x₃; б) x₁ x₂  .