2. Булевы функции
Любую формулу алгебры логики можно рассматривать как функцию, определенную на множестве B={1, 0}, где 1 соответствует значению “и”, а 0 – значению “л”.
Функцией алгебры логики (логической функцией) или булевой функцией f(x1,x2,...,xn) называется отображение f : B nB, определенное на множестве упорядоченных наборов элементов множества B и принимающее значения из этого множества. Обозначим через Pn - множество булевых функций n переменных.
Логическую функцию n переменных f(x1,x2,...,xn) можно задать таблицей, в левой части которой перечислены все 2n наборов значений переменных, а в правой части - значения функции на этих наборах.
|
x1 x2 . . . хn-1 xn |
f(x1, x2 , . . . хn-1 , xn) |
|
0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 . . . 1 0 1 1 . . . 1 1 |
f(0,0, . . . ,0,0) f(0,0, . . . ,0,1) f(0,0, . . . ,1,0) . . . . . . . . f(1,1, . . . ,1,0) f(1,1, . . . ,1,1) |
При
любом фиксированном упорядочении
наборов булева функция n переменных
полностью определяется вектор-столбцом
своих значений, размерность которого
равна числу наборов значений функции,
то есть 2n .
Поэтому число различных функций n
переменных равно числу различных
двоичных векторов длины 2n,
то есть
,
т.е. |
|
=
.
Нулем (единицей) булевой функции назовем
упорядоченный набор значений переменных,
на котором значение функции равно 0
(1).
Пусть
F={
}
– множество булевых функций, называемое
базисом. Формулой
над базисом F
(обозначается
[F])
называется выражение вида
[F]=
,
где
F.
Таким образом, всякая формула является
суперпозицией базисных функций, для ее
представления обычно применяется
инфиксная форма записи с логическими
операциями
~.
Каждой формуле однозначно соответствует
некоторая булева функция f,
в этом случае говорят, что формула
реализует функцию f,
однако, как будет показано ниже, такая
реализация не единственна.
Приведем примеры логических функций одной и двух переменных и их реализаций в виде формул.
Логических функций одной переменной четыре: две нуль-местные (0(х), 3(х)) - константы 0 и 1, значения которых не зависят от значения переменной, и две одноместные функции - тождественная и отрицание.
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Тождественная функция "повторяет" значение х: 1(х)=х. Функция отрицание возвращает значение, противоположное значению х: 2(х)=¬х.
Логических функций двух переменных шестнадцать:
|
х1 |
x2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Рассмотрим подробнее все эти функции.
-
0(х1,х2)
0
и 15
(х1,х2)
1.
-
1(х1,х2) = х1 х2 . Эта функция называется ещё логическим умножением и обозначается, также, х1х2.
-
2(х1.х2) = (х1х2).
-
3(х1,х2) = х1.
-
4(х1.х2) = (х2х1).
-
5(х1,х2) = х2.
-
6(х1,х2) =
(х1~х2)
называются неравнозначностью,
разделительной дизъюнкцией или сложением
по модулю 2 и обозначается еще как х1
х2. -
7(х1.х2) = х1 х2 .
-
8(х1.х2) =
(х1х2)
– антидизъюнкция, которая называется,
также, стрелка Пирса и обозначается
х1х2. -
9(х1.х2) = х1~х2 . Эту функцию называют еще равнозначностью и обозначают х1х2 .
-
10(х1.х2) =
. -
11(х1.х2) = х2х1.
-
12(х1.х2) =
. -
13(х1.х2) = х1х2.
-
14(х1.х2) =
(х1х2)
– антиконъюнкция, которая называется
еще штрих Шеффера и обозначается х1
| х2.
Можно определить логические операции, соответствующие функциям 6, 8, 14, построив для них таблицы истинности.
Фиктивной переменной (несущественной) функции f(x1, . . . , xn) называется переменная хi, изменение значения которой не меняет значения функции, то есть
f(x1, . . . , хi-1, 1, xi+1, . . . , xn)= f(x1, . . . , хi-1, 0, xi+1, . . . , xn).
Например, в функциях 3 и 12 переменная х2 фиктивна, а в функциях 5 и 10 фиктивна переменная х1.
Функция f(x1, . . . , xn), имеющая фиктивную переменную xi, по существу зависит от (n-1)-й переменной, т.е. представляет собой функцию g(x1, . . . , хi-1, xi+1, . . . , xn). Говорят, что функция g получена из функции f удалением фиктивной переменной, а функция f получена из функции g введением фиктивной переменной, причём эти функции считаются равными.