Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Gidravlika_1_sem_2_chast.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
05.11.2018
Размер:
946.69 Кб
Скачать

9. Потенциальное движение

Уравнения, описывающие движение реальной жидкости настолько сложны, что решить их в большинстве случаев невозможно. Для изучения различных течений и получения для них аналитических зависимостей приходится прибегать к упрощающим приёмам, например, предполагать жидкость невязкой (идеальной) и т. д; одним из таких приёмов является допущение о том, что вращательная составляющая скорости частиц равна нулю. Необходимость такого приёма оправдывается, например, тем, что при движении хорошо обтекаемого тела (крыла, лопатки компрессора или насоса) вращение частиц практически отсутствует почти во всём потоке, за исключением небольших областей (прежде всего это область, непосредственно прилегающая к поверхности тела).

9.1. Условия существования потенциального движения. Потенциал скорости.

Безвихревое движение является моделью, когда предполагается, что каким бы образом поток не представлять состоящим из частиц, то ни одна из них не совершает вращательного движения относительно своей оси – в этом случае ω=0 в любой точке области, где происходит движение жидкости. Такое движение является безвихревым, так как

. (9.1)

Очевидно, что вектор равен нулю, если каждая его компонента равна нулю, т.е. из (9.1) следует, что

. (9.2)

В данном случае для лучшего представления физических особенностей потенциального движения предполагалось отсутствие вращения частиц, что не совсем точно. При строгом формальном подходе в каждой точке задаётся поле скоростей, т.е. задаётся вектор скорости Тогда формально вычисленный ротор от вектора скорости-оператор должен быть равен нулю в любой точке при потенциальном движении.

Поток называется безвихревым (потенциальным), если в каждой его точке выполняется условие

Если

то поток называется вихревым.

Для вычисления вектора удобно использовать символический определитель

(9.3)

который раскладывается по элементам первой строки, т.е. по ортам В результате искомый вектор вихря(ротора) примет такой вид

(9.4)

Проекции вектора на оси декартовой системы координат равны

2

2 (9.5)

2

Задача 9.1. Определить, вихревым или безвихреым является течение, заданное вектором скорости с компонентами

,

( а – постоянная, имеющая размерность 1/t).

Решение. Прежде всего необходимо убедиться, что поток ,заданный такими компонентами скорости существует. Для этого подставляем значения Ux, Uy, Uz из условия задачи в уравнение неразрывности (7.5) и убеждаемся , что оно удовлетворяется. Далее подставляем Ux, Uy, Uz из условия задачи в (9.3) и находим

Течение является вихревым, так как вектор вихря не равен нулю.

Если поток является безвихревым и выполняется условие , то существует скалярная функция координат и времени , обладающая свойством: частная производная от этой функции по какому-либо направлению равна проекции скорости на это же направление. Частную производную от функции по любому направлению можно найти, умножив скалярно градиент от этой функции на вектор , т.е.

. (9.6)

В прямоугольной системе координат это записывается так

,

, (9.7)

.

Функция φ(x¸y¸z) называется потенциалом скорости. Поэтому безвихревое движение жидкости называется также потенциальным. Предположение о том, что

т.е. движение является потенциальным, приводит к значительным упрощениям при получении аналитических решений, а именно вместо трёх неизвестных величин , , возможно с помощью (9.7) свести задачу об определении поля скоростей к нахождению одной неизвестной функции.

Примерами потоков, для которых допущение о потенциальности оказывается не только возможным, но и полезным для их изучения являются: 1. Различные случаи истечения из отверстий; 2. Водосливы; 3. Закругления трубопроводов; 4. Течения в затворах шлюзов; 5. Фильтрационные потоки в пористой среде. К приведённым примерам необходимо добавить важный класс явлений обтекания различных препятствий потоками жидкости и газа. Функция потенциала скорости может быть введена для трёхмерных и двумерных (плоских) потоков. Любой поток идеальной жидкости может быть или вихревым, или потенциальным. Следует иметь также в виду, что все течения жидкости, существующие в природе являются вихревыми; известна теорема, согласно которой если жидкость неидеальная (вязкая), то никакое её движение не может быть потенциальным. Течение идеальной жидкости, таким образом, может быть как потенциальным , так и вихревым, течение же вязкой жидкости всегда может быть только вихревым.

В заключении заметим, что поле скоростей потока в случае, когда движение происходит без вращения частиц, обладает свойствами, аналогичными свойствам поля силы имеющий потенциал. В том и другом случаях интеграл от дифференциального выражения вида

не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от координат начальной А и конечной В точек пути

.

Поэтому было предложено называть функцию потенциалом скоростей.

Задача 9.2. Доказать, что если выполняются условия (9.7), то течение является безвихревым.

Указание. Подставить выражения для Ux, Uy, Uz из (9.7) в зависимости для ωx, ωy, ωz и убедится, что все три составляющие ωx, ωy, ωz становятся равными нулю.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]