2. Ускорение жидкой частицы

Вектор ускорения жидкой частицы, движущейся со скоростью , по аналогии с механикой материальной точки, является производной по времени от вектора скорости

. (2.1)

Выполним вначале качественный анализ зависимости для ускорения жидкой частицы. В данной точке потока скорость может со временем изменяться , а может и оставаться постоянной ; это относится к любой точке и частная производная (имеющая размерность ускорения) будет первой составляющей (слагаемым) компоненты ускорения. Кроме того, скорость частицы может изменяться от точки к точке (как при стационарном, так и при нестационарном режимах); простейший пример – течение жидкости в расширяющемся канале, рис.2.1, где скорость непрерывно уменьшается вдоль потока. В этой второй составляющей ускорения по смыслу должны присутствовать производные от скорости по координатам, но для сохранения размерности ускорения они должны умножаться на скорость. Так как обе рассматриваемые компоненты принципиально независимы, то общее ускорение жидкости частицы состоит из двух слагаемых.

Выполним теперь формальный вывод зависимости для ускорения. В общем случае неустановившегося движения проекции скорости , , являются функциями координат и времени; поэтому полный дифференциал, например, проекции равен

. (2.2)

Разделив последнее равенство на , получим

(2.3)

а с учетом

, , , (2.4)

получим

(2.5)

Из анализа последней зависимости следует, что полное ускорение складывается из двух составляющих: конвективного (или переносного) ускорения

(2.6)

и местного (локального) ускорения

(2.7)

Как следует из вывода, местное ускорение - это результат изменения скорости в точках пространства с течением времени, т. е. когда движение жидкости является неустановившимся. При установившемся движении местное ускорение .

Возникновение конвективного ускорения

(2.8)

обусловлено тем, что при переходе от точки к точке скорость изменяется. Таким образом, конвективное ускорение, а следовательно, и полное ускорение в установившемся потоке не обязательно равно нулю.

Задача 2.1. В каком случае конвективное ускорение равно нулю во всех точках потока.

Задача 2.2. Заданы выражения для компонентов вектора скорости

, , ,

где - постоянная величина, имеющая размерность , , , - постоянные, имеющие размерность скорости. Найти выражение для компоненты вектора ускорения.

Задача 2.3. Заданы следующие выражения ля компонентов вектора скорости течения

, , ,

где - постоянная величина, имеющая размерность .Найти выражение для компоненты вектора ускорения.

Решение. Выражение для компоненты ускорения имеет вид

.

Из условия задачи следует

, , , .

Подставляя полученные значения производных и выражения для компонент , и в зависимость для получаем искомый результат

.

3. Уравнение неразрывности для элементарной струйки

Известно несколько общих законов природы – законов сохранения, которые, преломляясь в прикладных науках, остаются в них определяющими.В гидравлике одним из основных уравнений является уравнение неразрывности, выражающее один из фундаментальных законов природы – закон сохранения массы вещества применительно к движению жидкостей и газов.

Для вывода этого уравнения рассмотрим элементарную струйку и определим массу жидкости, протекающей в единицу времени через её сечение. 1-1, рис.3.1. Выражение для элементарной массы составим следующим образом: за время все частицы жидкости из сечения 1-1 переместятся на расстояние , равное и займут положение на плоской площадке 2-2, которая не является сечением элементарной струйки, а представляет основание цилиндра, построенного на сечении 1-1 с образующей, равной , где U-скорость в сечении струйки 1-1. Ввиду того, что площадь сечения струйки является бесконечно малой величиной, скорость в его пределах полагается постоянной. Поэтому за время через сечение 1-1 протекает масса жидкости, содержащаяся в цилиндре, рис.3.1, ограниченным с торцов сечениями 1-1 и 2-2, а боковая его поверхность образована линиями тока. Эта масса может быть определена как объем цилиндра, умноженный на плотность жидкости

. (3.1)

За единицу времени через сечение протекает масса жидкости

. (3.2)

Поверхность струйки непроницаема для жидкости и поэтому для данной струйки имеем

, (3.3)

или

. (3.4)

По длине струйки площадь её сечения может изменяться, но произведение (3.4) остается постоянным, т. е. масса жидкости, проходящая в единицу времени через любое сечение струйки, остается постоянной – так формулируется закон сохранения массы для данного случая.

Если жидкость несжимаема, то и (3.4) будет иметь вид

. (3.5)

Произведение называется объемным расходом. В дальнейшем, если не сделана оговорка, под расходом будем понимать объемный расход.

Объем жидкости, проходящий через поперечное сечение потока за единицу времени называется расходом.