§.1.4. Элементы математической логики

Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Спустя два тысячелетия Г. Лейбниц предложил ввести в логику математическую символику и использовать ее для общих логических построений. Эту идею реализовал Дж. Буль, чем и положил начало развития математической логики. Интересно, что с одной стороны, этот междисциплинарный раздел представляет собой «логику математики» и отвечает за строгость, логичность математических утверждений, а, с другой стороны, с помощью привнесения аппарата математики в многовековой курс логики позволило распространить логику на многие научные области – биологию, экономику, медицину. Таким образом, математическая логика, называемая также символической или теоретической логикой есть инструмент для исследования математических оснований. Для нас с Вами аппарат математической логики является инструментов изучения и более глубокого понимания математики. Поэтому особое внимание будем уделять построению математического предложения, будь то определение или теорема, необходимо отчетливо видеть, где и какие логические связки участвуют в формулировке. Если это теорема, то необходимо четко уяснить, что в ней дано и что требуется доказать, каковы структура условий и заключения. Важно так же понимание сути необходимых и достаточных условий, прямой и обратной теорем и их различных видов. В настоящем пункте предметом нашего интереса будут: понятие высказывание, операции над высказываниями, предикаты, логические и кванторные операции над предикатами. Изучение математической логики позволит Вам находить ошибки в ваших рассуждениях при решении математической задачи.

Важно понимать, что идея формальной логики в том, что рассуждения разного содержания из различных областей деятельности могут иметь одну и ту же форму. Так, например, четыре следующих рассуждений имеют одну и ту же форму.

1 – «Одновременное потребление рыбы и мяса может привести к неправильной работе организма»;

2 – «Если принять во внимание, что существует объективный физический мир до и независимо от человека и физическим процессам свойственны не динамические, а статистические закономерности, то вероятно речь идет о неклассической физике»;

3 – «Причинами затруднения экономического роста развивающихся страны является наличие серьезных демографических и культурных проблем»;

4 – «Если число делится на 3 и на 2 следовательно оно делится на 6».

А так же мы предложим Вам изучить самостоятельно текст, посвященный критериям научности теории (на примере математики).

И еще, логическое мышление, которое должно быть развито у каждого человека, характеризуют такие умения как – умение выводить следствия из заданных условий, критическое отношение к высказываниям, умение обнаруживать противоречия, умение восстанавливать цепь рассуждений по отдельным данным; делать выводы о соответствии приведенного решения и вопроса задачи. Предлагаемые задания второй серии направлены на развитие этих умений.

При возникновении познавательных затруднений, пользуйтесь приложениями и составляйте вопросы к преподавателю.

Первая серия заданий

номер. Ниже приведено несколько примеров задач с подробными решениями. Прочитайте их. Если решение Вам понятно, то переходите к следующему заданию, если нет, то составьте вопросы к преподавателю, ответы на которые помогут Вам разобраться в решении.

1. Выделите условие и заключение в следующих теоремах.

1. Условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями служит равенство угловых коэффициентов.

2. Докажите, что любая бесконечная группа имеет бесконечное множество подгрупп.

3. Верно ли, что две медианы треугольника с одним углом в 30⁰ равны?

4. Функция f является дифференцируемой в точке x₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна.

2. Представим логическими формулами следующие высказывания:

Когда желудок пуст, человек испытывает чувство голода. Это неправда. Чувство голода появляется за счёт раздражения особых рецепторов, улавливающих снижение уровня сахара и некоторых других соединений в крови.

Шаг 1. Высказывание составное и состоит из следующих простых:

А – «желудок пустой»; В – «человек испытывает чувство голода»; С – «Чувство голода появляется за счёт раздражения особых рецепторов, улавливающих снижение уровня сахара и некоторых других соединений в крови».

Шаг 2. Высказывание А,В соединены «если, то»:АВ.

Шаг 3. Высказывания А,В,С соединены «Это неправда» и «и»: .

3. Записать логической формулой следующее умозаключение. Верно ли оно?

«Если вирус Х присутствует в организме и лекарство начнет действовать, то либо изменяться показатели анализов, либо придется применять другой метод исследования. Вирус присутствует в организме. Следовательно, показатели анализов изменятся».

Решение. 1. Разбиваем на «элементарные события» - А: «вирус Х присутствует в организме», В: «лекарство начнет действовать», С: «изменяются показатели анализов», D: «применяется другой метод исследования».

2. Составляем формулу: .

3. Используя правило заключения , имеем .

4. В соответствии с этим правилом нельзя сделать однозначный вывод. Однако, если ввести дополнительное условие истинности В, то данное умозаключение будет верно.

4. Дано утверждение, сформулируйте обратное, противоположное: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Решение. 1. Утверждение представляет собой теорему Пифагора.

2. Составим формулу данного высказывания: А: «Дан прямоугольный треугольник», В: «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»: .

3. Найдем определение обратного утверждения «Обратным для утверждения «Если А, то В» (А В) является утверждение «Если В, то А» (ВА)».

4. Тогда высказывание будет записано в виде: «(В) Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный (А)». Можно доказать, что приведенное высказывание так же является теоремой.

5. Найдем определение противоположного утверждения: « Противоположным для утверждения «А В» является предложение ».

6. Тогда противоположное высказывание будет записано в виде: «Если треугольник не прямоугольный, то квадрат одной стороны не равен сумме квадратов двух других сторон».

7. Очевидно, что утверждение, противоположное обратному, надо искать в виде: «», сформулировать которое можно так: «Если квадрат одной стороны не равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник не является прямоугольным».

5. Пусть предикат Р(х,у) описывает отношение «х дружит с у» на множестве людей. Рассмотреть все варианты «навешивания кванторов на обе переменные». Дать словесную интерпретацию полученных высказываний.

Дано: Р(х,у): «х дружит с у» двухместный предикат. Требование: рассмотреть различные комбинации кванторов «существования и единственности»

Решение: 1) т.к. предикат двухместный, то всего шесть комбинаций кванторов, представим их в таблице:

	«для любого человека х существует человек у, с которым он дружит»
	«существует такой человек у, что с ним дружат все х»
	«все люди дружат со всеми людьми»
	«существует человек, который с кем-то дружит»
	«существует человек, который дружит со всеми людьми»
	«для всякого человека существует человек, который с ним дружит»

номер. Ниже приведено несколько примеров задач с краткими решениями. Прокомментируйте их письменно.

1) Человек от рождения имеет неотъемлемые права на жизнь, на свободу, на счастье.
2) Если машина дорогая и у меня не хватает средств, то я не буду ее покупать.
3) Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил задание. Он не выполнил задание. Следовательно, отсутствовал на работе.
4) У меня возникла проблемная ситуация. Я могу выбрать ПУТЬ 1 или ПУТЬ 2. Если я выберу ПУТЬ 1, то могу потерять друга. Если я выберу ПУТЬ 2, то могу приобрести квартиру. Следовательно, я или потеряю друга либо приобрету квартиру.	1. 2.Используем метод «от противного». 3. . 4.

номер. Следующее задание состоит из 4 ключевых задач. Постарайтесь решить, подробно комментируя свои шаги. В случае затруднений воспользуйтесь указаниями.

1. Среди следующих предложений выделить высказывания, установить, истинны они или ложны, определить какие из них элементарные, а какие составные. Там, где это возможно представьте высказывания формулами:

а) мобильный телефон марки NOKIA лучше телефона марки SAMSUNG;

б) движение планет вокруг солнца;

в) по данным статистики, процент автомобильных аварий снизился к 2011г.;

г) уравнение третьей степени имеет 5 корней;

д) Это предложение ложно;

е) кто изучал связь лингвистики и математики?

ж) 2,3456*10⁵>23,456*10³;

з) число делится на 11 и на 5 тогда и только тогда, когда оно делится на 55.

и) приведите свой пример (истинного) ложного, элементарного (составного) утверждения из будущей профессиональной деятельности.

2. Запишите с помощью формулы данную ситуацию: «Вы знаете, что в этой ситуации есть два решения: N1, N2. Если Вы поступите N1, то вы возможно решите проблему. Если Вы поступите N2, то вы можете решить ситуацию, но Вам придется делать дополнительную работу»

3. По данным математическим выражениям придумайте ситуацию: «», «».

4. Для данного утверждения «Если целое число делится на 12, то оно делится и на 3, и на 4»,

найдите:

• необходимые, достаточные, необходимые и достаточные утверждения;

• обратную теорему;

• противоположную теорему.

Если целое число делится на 6, то оно делится и на 12.
Число делится на четное число.
Если целое число делится на 3 и на 4, то оно делится и на 12.
Если целое число не делится на 3, но делится на 4, то оно делится на 12.
Если целое число не делится на 12, то оно не делится на 4 и не делится на 3.
12 делится на 3 и на 4.

5. Пусть предикат Р(х,у) описывает отношение «х обыграл у» на множестве теннисистов. Рассмотреть все варианты «навешивания кванторов» на обе переменные. Дать словесную интерпретацию полученных высказываний.

Вторая серия заданий

номер. Найти и исправить ошибки в следующих группах заданий, там, где это возможно охарактеризовать ошибку.

1. Ошибка в определениях.

номер. В приведенной ниже таблице необходимо определить, каким является утверждение – истинным, ложным или это невозможно установить. Там где это возможно, преобразуйте из «ложного» в «истинное» высказывание.

№	Утверждение	и\л\н
1	Дизъюнкцией называется логическая операция, аналог союза «и».
2	Теорема – это утверждение, в котором есть условие и заключение.
3	Высказывание – это любое предложение, которое истинно.
4	Гипотетико-дедуктивный метод - метод научного познания и рассуждения, основанный на выведении (дедукций) заключений.
5	Любую формулу можно представить в виде конъюнкции и эквиваленции.
6	Тавтологией называется формула, которую нельзя построить.

2. Ошибка в условии задачи.

	Условие, содержащее ошибку	Исправленное условие и рассуждения к нему приводящие
1	Определите логические значения нижеследующих высказываний, не строя таблицу истинности:
2	Это теорема: Если прямые параллельны, то одна прямая параллельна другой.
3	Это аксиома: Через точку и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и при том единственную.