Модуль I. Введение в дисциплину «Математика»

Для успешного освоения курса высшей математики и овладения отмеченными группами компетенций, необходимо восполнить возможные пробелы в знаниях и умениях школьного курса математики. Согласно ГОС общего образования, выпускник школы должен уметь:

- выполнять действия с числами;

- решать простейшие задачи на вычисления процентов;

- решать текстовые задачи;

- распознавать на моделях и по описанию основные пространственные тела и фигуры; определять величины простейших геометрических объектов;

- использовать часто встречающиеся фразеологические обороты (высказывание, отрицание, импликация, обратная и противоположные теоремы, кванторы общности и существования).

В каждом параграфе данной главы представлены две серии заданий. Первая серия направлена на актуализацию Ваших школьных знаний или на восполнение имеющихся пробелов в знаниях и умениях. Эта часть вариативна и Вы сами выбираете те темы, которые, по Вашему мнению, недостаточно изучены. Вторая серия заданий предназначена для развития интеллектуальных умений и содержит некорректные задания, о которых более подробно описано во введении и приложениях.

При возникновении познавательных затруднений, пользуйтесь приложениями 1,3,4,8 и составляйте вопросы к преподавателю.

§.1.1. Актуализация школьного курса математики: символика, действия с числами, задачи на проценты, величины, уравнения, неравенства, текстовые задачи.

Первая серия заданий

номер. Ниже приведено по одной задаче на каждую тему. Если Вы знаете, как решается задача, отметьте «знаю и умею», если нет, то выпишите и попытайтесь решить ее. Если Вы чувствуете, что Вам недостаточно одной задачи для повторения данной темы, попросите преподавателя дать Вам еще несколько заданий. Решите столько примеров, сколько Вам необходимо для уверенного обращения с заданными темами.

Отдельно вынесен на рассмотрение вопрос о навыках решения текстовых задач, потому как, по признанию большинства студентов – эта тема вызывает наибольшее затруднение.

	Задание	Знаете/не знаете Умеете/не умеете
Вычислительные навыки	Вычислить, пользуясь правилами сложения, вычитания, умножения, деления чисел (в скобочках расставлен порядок действий). a); b) ( ответ 3).
	Выполните умножение многочленов: . Вынести общий множитель за скобку, затем сгруппировать: a) ; b).
Алгебраические навыки	Упростить выражение, используя правила действий со степенями: . Используя формулы сокращенного умножения и правила вынесения общего множителя, преобразовать выражение: a) ; b). Выразите из формул: a); b); c); d). Вычислить значение выражения: х=4, у=9: .
Навыки решения уравнений	Определите вид уравнения, выберете метод решения, затем решите уравнение: а) 0,7(2х-5)=2,2-2(0,3х+7,25); b) ; c) .
Навыки решения систем уравнений	Какие виды уравнений входят в каждую систему, какой метод решения наиболее подходит для решения каждой системы? a) ; b) .
Навыки решения неравенств и систем неравенств	Определите вид неравенств в системах, выберете подходящий метод решения, решите систему неравенств, запишите несколькими способами ответ:
Навыки решения задач на вычисление процентов	Найдите: a) найдите сколько процентов составляет число 15 от 125; b) найдите 35 % от числа 80; c) в доме 160 двухкомнатных и 240 трехкомнатных квартир. Сколько процентов от всех квартир составляют трехкомнатные? d) Клиент открыл в банке счет и положил на срочный вклад 500 тыс. руб. Определите сумму вклада через 2 года, если банк начисляет сложные проценты по ставке 30 % годовых и дополнительных вложений не поступало.
Навыки обращения с величинами	При измерении различных величин получили: 12 см, 12 см2, 12 см3, 12 кг, 12 ч, 12. Какие величины измеряли? Что показывает в каждом случае число 12? Переведите: 1) в квадратные метры 200 000 см2; 20 а; 2) в килограммы 20 т; 3 ц; 60 000 г; 3) в часы 2 недели.
Навыки решения текстовых задач	Вы выехали из пункта А пункт В. Одновременно с Вами из пункта В в пункт А выехал ваш знакомый. Вы прибыли в пункт В через 4 часа после встречи, а ваш знакомый через час. Сколько Вы были в пути?

Вторая серия заданий

Для выполнения этой части заданий, Вы должны на достаточном уровне знать школьные основы математики и внимательно ознакомится с приложением 4.

На примере решения текстовых задач, мы хотим показать, как происходит процесс познания мира, как работает человеческая мысль в поисках ответов на вопросы, в нахождении неизвестного при заданных известных.

номер. Прочитайте текст, приведенный ниже из книги Л.М. Фридмана «Как научиться решать задачи». Ответьте на вопросы после текста.

«Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, - ее ответ.

Приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования. Для того чтобы приступить к анализу задачи, необходимо расчленить формулировку задачи на условия и требования. Производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи.

Результаты предварительного анализа задач надо как-то зафиксировать, записать. Такой формой является схематическая запись задачи. Первой отличительной особенностью схематической записи задач является широкое использование в ней различного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематической записи фиксируется лишь то, что необходимо для решения задачи; все другие подробности, имеющиеся в задаче, при схематической записи отбрасываются.

Из каких же э т а п о в состоит процесс решения задачи?.. Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-ый этап – анализ задачи;

2-ой этап – схематическая запись задачи;

3-ий этап – поиск способа решения задачи;

4-ый этап – осуществление решения задачи;

5-ый этап – проверка решения задачи;

6-ой этап – исследование задачи;

7-ой этап – формулирование ответа задачи;

8-ой этап – анализ решения задачи.

Другими словами, непосредственное решение задачи состоит из последовательности шагов (действий), каждый из которых есть применение некоторого общего положения математики к условиям и к их следствиям. Поэтому отыскание этой последовательности шагов есть самое главное, что нужно сделать для того, чтобы решить задачу. Математика и занимается тем, что она устанавливает для многих видов задач правила, пользуясь которыми можно найти указанную последовательность шагов для решения любой задачи данного вида. Для многих видов задач такие правила уже давно найдены, и вы их изучали их в школьном курсе математики. Правила, пользуясь которыми можно найти последовательность шагов для решения любой задачи некоторого вида, в математике излагаются в различных формах. Приведем некоторые примеры таких правил.

1. Словесное правило.

2. Правило-формула.

3. Правило-тождество.

4. Правило-теорема.

5. Правило-определение.

Каждое правило позволяет составлять программу – последовательность шагов для решения любой задачи. Приведем некоторые примеры.

1) Степень произведения равна произведению степеней сомножителей.

1. установить все сомножители произведения;

2. найти данную степень каждого из этих сомножителей;

3. результаты 2-го шага перемножить.

В соответствии с этой программой решение задачи: «Найти » - будет таким:

1. устанавливаем, что заданное произведение состоит из трех сомножителей: 3,;

2. находим четвертую степень каждого из этих сомножителей: .

3. находим произведение результатов предыдущего шага: .

2) Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

На основе этого определения можно составить такую программу решения системы неравенств с одной переменной:

1) решить каждое из неравенств системы, получить для каждого неравенства числовой промежуток – его решение,

2) найти пересечение полученных числовых промежутков на числовой прямой.

В соответствии с этой программой решение системы неравенств: будет состоять из следующих шагов:

1. решаем первое неравенство: ;

2. решаем второе неравенство: ;

3. решаем третье неравенство: ;

4. находим пересечение числовых промежутков: [-11,+), (-, 3], (2, +). Получим промежуток (2,3].

3) Умение решать задачи по математике представляет собой умение последовательно подбирать и применять математические формулы, определения и теоремы.

Вот несколько указаний, как искать подходящую «математическую опору»:

1. Убедись, что ты знаешь значения терминов, входящих в задание.

2. Если нет, окрой толковый словарь или справочник по математике. Разберись с определением.

3. По учебнику найди, к какому разделу относится.

4. Если есть возможность, найди похожий пример с решением.

5. На черновике используй метод перебора.

Пример. Для решения уравнения получаем такую последовательность шагов:

1. определяем, к какой теме относится – квадратные уравнения.

2. выписываем формулу , обнаруживаем, что необходимо определить что значит a, b, c. Находим общую запись квадратного уравнения .

3. Подставляем числовые данные в формулу: .

4. Делаем проверку: .»

Задания:

1. С какими утверждениями Вы согласны, с какими нет?

2. Как Вы считаете, какой из этапов решения вызывает у Вас большие трудности?

3. Запомните этот алгоритм.

4. Приведите пример решения задачи с использованием этого алгоритма.

номер. Ниже приведено несколько примеров текстовых задач с подробными решениями. Прочитайте их. Если решение Вам понятно, то переходите к следующему заданию, если нет, то составьте вопросы к преподавателю, ответы на которые помогут Вам разобраться в решении.

1) Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратный путь она совершила за 8 ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

1. Анализ задачи.

В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой плывет и лодка, и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6 ч), чем против течения (8 ч). Но эти скорости (собственная скорость лодки и скорость течения реки) в задаче не даны (они неизвестны), так же как неизвестно расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные скорости и расстояния, а время, за которое плот проплывет неизвестное расстояние между пристанями.

2. Схематическая запись задачи.

3. Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того, чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой s (км), а скорость течения реки примем равной a км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи, нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна v км/ч. Отсюда естественно возникает план решения задачи, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

4. Осуществление плана решения задачи. Итак, пусть расстояние АВ равно s км, скорость течения реки a км/ч, собственная скорость лодки v км/ч, а искомое время движения плота на пути в s км равно x ч.

4.1. Тогда скорость лодки по течению реки равна (v+a) км/ч. За 6 часов лодка, идя с этой скоростью, прошла путь АВ в s км. Следовательно, 6 (v+a)=s.

4.2. Против течения эта лодка идет со скоростью (v-a)=s.

4.3. Наконец, плот, плывя со скоростью a км/ч, покрыл расстояние s км за х ч, следовательно, ax=s.

4.4. Получили систему уравнений относительно s, a, v, x. Решив систему, получим x=48.

5) Проверка решения.

Итак, мы нашли, что плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна км/ч. Скорость же лодки по течению равна км/ч, а против течения км/ч. Для того, чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:

5.1. от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки, т.е. ,

5.2. к скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения реки, т.е. .

5.3. произведя вычисления, получаем верное равенство: .

Значит, задача решена правильно.

7) Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч.

8) Анализ решения: попробуйте найти более рациональное решение задачи.

номер. Ниже приведены задачи с краткими решениями. Прокомментируйте их письменно, обязательно составьте схемы условия.

1) 30 пирожных стоят на 30 руб. дороже, чем 40 пирожков. Те же 30 пирожных стоят на 21 руб. дороже, чем 50 таких же пирожков. Сколько стоят одно пирожное и один пирожок?

Решение: .

Ответ: пирожное стоит 2 руб. 20 коп, пирожок стоит 90 коп.

2) Собака погналась за лисицей, находящейся от нее на расстоянии 120 м. Через сколько времени собака догонит лисицу, если лисица пробегает в минуту 320 м, а собака – 350?

Решение:

Ответ: через 4 минуты собака догонит лису.

3) Велосипедист должен попасть в место назначения к определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на час раньше, а если со скоростью 10 км/ч, то опоздает на час. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать вовремя?

Решение: Можно предположить, что скорость должна быть средним арифметическим, т.е. 12,5 км/ч. Однако применим математику…

. Ответ: 12 км/ч

номер. Приведены сюжетные ситуации без сформулированного требования. Предложите требования к задачам.

1) Первый специалист делает работу 6 часов. Затем его сменяет второй специалист, который проработал 10 часов и закончил всю работу. Если бы каждый работал по отдельности, то второй смог бы закончить работу на 3 часа быстрее первого.

2) Машина проезжает некоторое расстояние за 10 ч. Если бы она проезжала в час на 10 км больше, то ей потребовалось бы на тот же путь 8 ч.

3) Цена на продукт увеличилась сначала на 30 %, а потом еще на 10%.

номер. Найти и исправить ошибки в следующих группах заданий, там, где это возможно охарактеризовать ошибку.

1. Ошибка в определениях и теоремах.

	Предложение, содержащее ошибку	Исправленное предложение
1	Аксиома – утверждение, которое не нужно доказывать.
2	Уравнением называется неизвестное
3	Решением системы уравнений называется такое число, которое при подставке хотя бы одно уравнение превращает в тождество.
4	Логарифмом числа b по основанию а называется степень, в которую нужно возвести b, чтобы получилось а.
5	Модуль числа есть положительное число.
6	Синусом угла А называется величина этого угла.
7	Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, любой член которой равен другому, умноженному на одно и тоже число q.
8	Арифметической прогрессией называется последовательность, у которой все члены равны предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
9	Процент – наибольшая часть числа.
10	Чтобы из данного числа вычесть другое число, надо к вычитаемому прибавить число, противоположное уменьшаемому.

2. Ошибка в условии задач.

	Условие, содержащее ошибку	Исправленное условие и рассуждения к нему приводящие
1	При покупке 10 единиц товара № 1 и 4 ед. товара № 2 был получен чек на сумму 683 руб. Определить цену товара № 1 и товара № 2.
2	Используя формулу двойного аргумента найти sin2x cosx=5/6, sinx=3/8.
3	Число а, больше числа 2а.
4	Придумайте простое трехзначное число, в записи которого употребляются лишь цифры 1 и 4
5	Не существует трех последовательных чисел, отличающихся тем свойством, что квадрат среднего на 1 больше произведения остальных
6	Четыре гири весят вместе 40 кг. Определить массу самой тяжелой гири. Известно, что каждая из них в три раза тяжелее другой, более легкой, и что самая легкая весит в 12 раз меньше, чем весят вместе две гири.
7	Дана последовательность 13,11,9… найти, чему равен 31-й член последовательности.
8	Найдите три числа, которые делятся на 15.
9	Найти значение выражения при а=-4, b=-9.
10	Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша одна за 10 минут, Настя за 10 минут. За какое время девочки вымоют окно, работая втроем?

3. Ошибка в ходе решения задач

	Решение, содержащее ошибку	Исправленное решение
1)	Стоимость 60 экземпляров 1-го тома и 75 экземпляров 2-го тома составляют 4050 руб. однако, при скидке 15% на 1-ый том и 10% скидке на 2-ой том приходится платить 3555 руб. Определите цену 1-го и 2-го томов. Решение: 1. Анализ условия. Задача на количество. Рассматриваются процессы: первоначальная стоимость каждого тома, стоимость каждого тома после скидки. Известно: - количество экземпляров каждого тома, процент скидки, стоимость всех книг после скидки. Неизвестно: цена каждого тома. Требуется найти цену каждого тома. 2. Поиск решения. Обозначим цену каждого тома за х и у, выразим цену каждого тома после скидки, для чего два раза решим задачу на нахождение процентов от числа. Затем найдем стоимость всех экземпляров для каждого тома книги до скидки и после нее. Решим полученную систему уравнений. 3. Выполнение плана решения: Пусть х руб. – цена 1-го тома, у руб. – цена второго тома. Тогда 0,1560х+0,175у=3555. Получили одно уравнение с двумя неизвестными. Решить не получается.
2)	Задумано целое положительное число первого десятка. К его записи присоединили справа цифру 5 и из полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Разность разделили на задуманное число, а затем вычли задуманное число и в результате получили единицу. Какое число задумано? Решение: 1. Анализ условия. В задаче речь идет о действиях с числами. Рассматриваются четыре последовательности выполняемых операций. Известно: какие действия выполнялись и в какой последовательности, полученный результат. Неизвестно: задуманное число. 2. Поиск решения. Обозначим задуманное число за х, тогда запишем с помощью формулы полученное двузначное число. Последовательно запишем все выражения, полученные в результате описанных действий. По условию, получится единица, значит, опять, требуется составить и решить уравнение. 3. Осуществление решения. Пусть х – задуманное число. (х+5) – приписали пятерку, (х+5-х2) – вычли квадрат, - разделили на неизвестное и отняли его же. Зная, что в результате получится 1, составим уравнение и найдем его корни: . Где-то ошибка.

номер. Приведенные ниже задачи решали учащиеся, некоторые из их действий были опущены. Вам предлагается восполнить пробелы.

1. Решение уравнения с параметром:

   1. Если _____________, то будет один корень х=____________.

   2. Если _____________, то уравнение квадратное, поэтому необходимо использовать формулу ___________________, и применив ее, получим два решения _________________________________.

   3. Можно заметить, что если m=1, то используя формулу сокращенного умножения получим один корень ________________.

2. Решение старинной задачи: «Продажа сапогов со скидкой».

Сапожник сделал сапоги и сказал подмастерью продать их за 25 рублей. К подмастерью на рынке подошло двое инвалидов (у одного нет левой ноги, у другого - правой), и он продал им по сапогу за 12,50 соотвественно. Возвращается, отдает деньги сапожнику и рассказывает, как удачно продал… А сапожник отвечает: “ну что ж ты, инвалидам надо было сделать скидку. Держи 5 рублей, разыщи их и верни по 2,50″ А подмастерье решил отдать инвалидам только по рублю, а остальные три рубля оставил себе. Нашел инвалидов и отдал каждому по рублю. Вышло, что сапоги обошлись инвалидам по 11,50: 11,50+11,50 = 23 и еще 3 рубля остались у подмастерья. Итого: 26 рублей, а было 25. Откуда лишний рубль?

Решение:

1) Сапожник получил ___ руб., пять рублей отдал, значит у него осталось ____руб.

2) Инвалиды получили по рублю, значит за сапоги они вместе заплатили ____ руб.

3) Подмастерье оставил три рубля себе.

4) Следовательно, никаких “лишних” денег в сделке не возникло.

5) Ошибка рассуждений состояла в том, что __________________________________________________.

3. Решение задачи на вычисление сложных процентов:

Какую сумма необходимо положить клиенту на 5 лет под 8 % годовых, чтобы к окончанию срока сумма на счете была 100 000 руб.?

Решение: 1) Необходимо найти формулу для вычисления сложных процентов, согласно справочнику она имеет вид .

2) После подставления известных данных к=______, х_к=___, р=_______ в формулу, получится: _________________________________.

3) Итак, после преобразований и вычислений, получится, что клиенту необходимо положить сумму в размере 68073 руб. 52 коп.

4. Из двух пунктов, расстояние между которыми ______, вышли одновременно друг другу два поезда, скорость одного из них на _____ больше скорости другого. Через _____часов после начала движения поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорость движения каждого поезда. Восстановите условие задачи и решите ее, если:

   1. задачу можно решить с помощью уравнения .

   2. известно, что скорость одного на 10 км/ч больше другого.