§. 1.2. Геометрия: аксиомы, основные фигуры.
Школьный курс геометрии знакомил Вас с важнейшим понятием науки – аксиоматическим методом. Мы предлагаем Вам, опираясь на лекционный материал, выполнить задания первой серии, направленные на систематизацию знаний школьного курса геометрии и выделение основных мировоззренческих позиций. Школьный курс геометрии был направлен на изучение таких математических объектов как: фигуры (многоугольники и многогранники), векторы, координаты, преобразования плоскости. Основные математические умения, которые Вы должны у себя определить, образовательным стандартом формулируются так: находить элементы многоугольников и многогранников, вычислять числовые характеристики многоугольников и многогранников, применять различные геометрические методы к решению практических задач. Поэтому первая серия направлена на определение уровня Ваших знаний по геометрии школьного курса и пространственного мышления. Пространственное мышление является очень важной составляющей интеллекта, поэтому особо обратите внимание на те задания, которые вызывают затруднение.
Во второй серии представлены задания на развитие интеллектуальных умений.
Прежде, чем перейти к решению, позвольте напомнить Вам, что представляет собой геометрия, как раздел школьной математики и как часть науки. «Как известно, практическая деятельность людей (строительство, земледелие, ремесло) служила основой для выработки отвлеченных понятий геометрии: прямая, точка, длина, площадь, объем. В 17 в. до н.э. обнаруживаются первые тексты, содержащие ряд задач на вычисление вместимости сосудов, площади земельных участков. Постепенно проникая в другие страны, геометрия развивалась в направлении накопления новых фактов и уяснения их связей друг с другом. Так, постепенно вырабатывалось понятие о геометрической теореме и ее доказательстве, о выделении аксиом. Обычно рождение геометрии связывают с трудом Евклида «Начала» (III в. до н.э.), где систематически строго была изложения геометрия. Геометрия, как Вы изучали ее в школе, имеет своим предметом пространственные формы и отношения реальных тел, отвлеченные от всех прочих свойств. Обратим внимание, что именно этот уровень отвлеченности отличает геометрию от других наук, например, от астрономии и геодезии».
В науке математика геометрия давно распалась на множество различных направлений: евклидова геометрия, проективная геометрия, аффинная геометрия, многомерная геометрия, неевклидова геометрия, риманова геометрия, дифференциальная геометрия, топология.
Геометрия связана с элементами окружающего мира. Так, доказана связь физических элементов, образующих космос с правильными многогранниками. Например, некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, известно, что на микроскопическом уровне додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь.
Показано, что Вселенная не имеет форму евклидового пространства. Идеи, рожденные в геометрии, такие как, например, «золотое сечение», «симметрия», проникают в различные области науки и жизни. В последнее время распространены философские течения, связанные с некоторыми геометрическими положениями. Например, сакральная геометрия, гармонично соединяя в себе различные виды искусства и науки, прозрения мистиков и принципы квантовой физики, доказывает, что геометрическая форма — это сосредоточение психической энергии, генератор силы, врата в другие пространства. Создатели сакральной геометрии полагают, что древние оставили для нас важные послания, запечатленные в архитектурных, музыкальных и живописных произведениях. Научившись расшифровывать эти послания, можно найти многие ключи к пониманию бытия, поскольку геометрические образы взаимосвязаны со всеми элементами существования. Интересно, что в последнее время появились совместные исследования математиков, специалистов по рекламе и психологов, направленные на изучение влияния упаковки (точнее ее формы) продукта на человека и окружающее его пространство.
Геометрия картины, как совокупность приемов, которые связаны с передачей пространственности, до сих пор является актуальной и не решенной проблемой художников – ученых.
Для нас с Вами интерес представляют задачи по геометрии, процесс их решения, потому как в отличие от алгебры и арифметики трудно составить алгоритм решения любой геометрической задачи. Попытайтесь использовать алгоритм решения задачи, разобранный в предыдущем параграфе.
При возникновении познавательных затруднений, пользуйтесь приложениями и составляйте вопросы к преподавателю.
Первая серия заданий
номер. Ниже приведено по одной задаче на каждый раздел геометрии. Если Вы знаете, как решается задача, отметьте «знаю и умею», если нет, то выпишите и попытайтесь решить ее. Если Вы чувствуете, что Вам недостаточно одной задачи для повторения данной темы, попросите преподавателя дать Вам еще несколько заданий. Решите столько примеров, сколько Вам необходимо для уверенного оперирования ключевыми темами.
|
темы |
Задание |
Знаете/не знаете Умеете/не умеете |
|
основные фигуры планиметрии |
номер. Выбрать правильный вариант ответа 1) Треугольник – это А. простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; В. часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. С. любые три точки и три отрезка. D. нет верного ответа. 2) Параллелограмм – это А. ромб, с равными углами. В. произвольный четырехугольник С. фигура, образованная двумя треугольниками. D. четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. 3) Окружность – это А. множество точек, расположенных по кругу. В. фигура образованная, множеством точек, отстоящих на одном и том же расстоянии от точек плоскости. С. геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, на заданное ненулевое расстояние. D. нет верного ответа.
|
|
|
нахождение площадей фигур |
номер. В равнобедренной трапеции АВСD известно: ВС=5, СВ=6, угол при основании равен 300.Найти площадь трапеции, найти площадь параллелограмма АВСК, где точка К принадлежит стороне АD, площадь треугольника КСD. |
|
|
выяснение взаимного расположения прямых и плоскостей |
номер. Какое из следующих утверждений верно?
|
|
|
основные фигуры стереометрии |
номер. Выберите верный вариант ответа:
А. Прямой. Б. Наклонной. В. Правильной. Г. Усеченной.
А. Куб. Б. Додекаэдр. В. Октаэдр. Г. Параллелепипед.
А. Да. Б. Нет.
А. Да. Б. Нет.
А. 6. Б. 8. В. 4. Г. 10.
А. 5. Б. 7. В. 8. Г. 10.
А. 5. Б. 6. В. 7. Г. 8.
А. 5. Б. 6. В. 7. Г. 8.
А. Пирамида. Б. Конус. В. Призма. Г. Параллелепипед. 10. В какой n-угольной правильной призме все диагональные сечения равны? А. при n = 4. Б. При n = 5. В. При n = 4; 5. Г. Ни в какой.1 11. Цилиндром называется тело, ограниченное поверхностью: А. Конической. Б. Концентрической. В. Цилиндрической. Г. Сферической.
А. Треугольник. Б. Круг. В. Прямоугольник. Г. Трапеция.
А. Образующая. Б. Ось. В. Высота. Г. Медиана.
А. Конуса. Б. Усеченного конуса. В. Цилиндра. Г. Шара.
А. Одну. Б. Ни одной. В. Две. Г. Бесконечно много.
|
|
|
нахождение объемов круглых тел и многоранников |
А. 12 см. Б. 10 см. В. 20 см. Г. 6 см.
А. 72 см
А. 100 см
А.
А.
А. а.
Б.
А. Увеличится в 8 раз. Б. Не изменится. В. Увеличится в 4 раза. Г. Увеличится в 2 раза.
|
|
|
применение векторного метода |
номер.
Известно, что на сторонах треугольника
с углом в 300
«лежат» векторы
|
|
|
применение метода координат |
номер. Известны координаты вершин треугольной пирамиды АВСD: А(3.5, -4.2, -1.3), В (1.1, -3.2, 0), С (3.5, 4.2, 1.3), D (-3.5,-4.2, 4). Найти длину ребра АВ, расстояние от точки D до середины ребра ВС. |
|
.
Вычислите его объем. А. 24 см
.
Б. 48 см
.
В. 56 см
.
Г. 64 см
.
.
Б. 36 см
.
В. 24 см
.
Г. 64 см
.
.
Б. 108 см
.
В. 120 см
.
Г. 88 см
.
.
Вычислите измерения. Образующая
конуса равна 7 см, а высота – 6 см.
Вычислите объем конуса.
см
.
Б.
см
.
В.
см
.
Г.
см
.
см
.
Б.
см
.
В.
см
.
Г.
см
.
.
В. 0,5а.
Г. 1,5а.
.
Найти длину стороны АС, все углы в
треугольнике, его площадь.
номер. Ниже приведены задачи с краткими решениями. Прокомментируйте их письменно.
-
Сколько литров воды вмещает водоем, имеющий форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если его глубина равна 1,2 м, а стороны оснований 10 м и 5 м?
-
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда высотой 40 см. Чтобы наполнить его доверху, требуется 60 литров воды. Сейчас в аквариуме от уровня воды до верхнего края 4 см. Сколько литров воды в аквариуме сейчас?
-
В цилиндрическую банку диаметром 10 см опустили в жидкость деталь. Вычислите объем детали, если высота жидкости в банке поднялась на 4 см.
4) Радиус сферы увеличился на 50%. На сколько процентов увеличилась площадь поверхности? (125%)
номер. Данное задание направленно на развитие пространственного мышления, поэтому выполнять их нужно в «уме». После его выполнения, отметьте, какие задания вызвали у вас затруднения, и разберите эти задания с преподавателем.
-
Даны угол и внутри него точка А. Постройте мысленно окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А.
-
В трапеции АВСD точка К – середина стороны АВ и соединена с точкой С так, что получился треугольник ВКС. Представьте себе, что этот треугольник повернут вокруг точки К и отрезки КВ и КА совместились. В какую фигуру превратилась трапеция?
-
Дана окружность с вписанным в нее треугольником АВD, одна з сторон которого является диаметром окружности. Представьте в уме, что точка В вращается вокруг диаметра. какая фигура получилась?
-
Используя четыре равных прямоугольных треугольника, составьте прямоугольник, ромб, треугольник, параллелограмм, конус.
-
Из окружности, радиусом 6 см вырезали сектор, площадью 3
.
Затем этот сектор начали вращать вокруг
его оси симметрии. Какая фигура
получилась? -
Какие фигуры могут получиться в сечении четырехугольной пирамиды, если известно, что оно проходит через боковую грань?
-
Какая фигура получится в сечении фигуры, образованной параллелепипедом и описанной вокруг него сферой, если известно, что сечение проходит через ребро верхнего основания и нижнее основание.
Вторая серия заданий
номер. Найти и исправить ошибки в следующих группах заданий, там, где это возможно охарактеризовать ошибку.
-
Ошибка в определениях и теоремах.
номер. В приведенной ниже таблице необходимо определить, каким является утверждение – истинным, ложным или это невозможно установить. Для успешного выполнения задания повторите систему аксиом планиметрии и стереометрии. Подчеркните в каждом утверждении основные объекты и отношения.
|
№ |
Утверждение |
и\л\н |
|
|
1 |
Аксиома – утверждение, которое не требует доказательства. |
|
|
|
2 |
В любой четырехугольник можно вписать окружность. |
|
|
|
3 |
Через любые две точки проходит прямая. |
|
|
|
4 |
Углом называется часть треугольника. |
|
|
|
5 |
Градус – угол, равный 1/180 части развернутого угла. 60/180 часть угла называется минутой. |
|
|
|
6 |
Смежные углы равны, а сумма вертикальных равна 180 градусам. |
|
|
|
7 |
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. |
|
|
|
8 |
Периметром фигуры называется длина ее большей стороны. |
|
|
|
9 |
Площадь фигуры – это численная характеристика двумерной плоской величины. |
|
|
|
10 |
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. |
|
|
|
11 |
Через точку можно провести прямую, параллельную данной. |
|
|
|
12 |
Если прямая перпендикулярна к одной прямой, то она перпендикулярна и к другой. |
|
|
|
13 |
Расстояние от точки А до прямой называется отрезок, соединяющий точку А до любой точки прямой. |
|
|
|
14 |
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. |
|
|
|
15 |
Прямоугольник - четырехугольник, у которого все углы девяносто градусов. |
|
|
|
16 |
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме катетов. |
|
|
|
17 |
Прямоугольная система координат состоит из координат точек. |
|
|
|
18 |
Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину. |
|
|
|
19 |
Около любого шестиугольника можно описать окружность. |
|
|
|
20 |
Двугранный угол называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей их прямой. |
|
|
-
Ошибка в условии задачи.
|
|
Условие, содержащее ошибку |
Исправленное условие и рассуждения к нему приводящие |
|
1 |
Найдите сумму потолка и пола комнаты, длина которой 6,4 м, ширина 3,5 м и высота 2,55 м. |
|
|
2 |
В системе координат на кривой постройте точку А (6,27; - 2,32) |
|
|
3 |
Стороны параллелограмма 6 и 8 м, высота 5 м. Найти площадь. |
|
|
4 |
В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, другая 8 см. Найти длину третьей стороны. |
|
|
5 |
Вы надумали соорудить песочницу. В наличии оказались четыре доски по 1 м, две доски по 2 м, и одна доска в 3 м. Какую песочницу (прямоугольную или квадратную) можно соорудить из всех досок, не распиливая их? Можно ли всеми досками, не распиливая их, огородить прямоугольную песочницу? |
|
|
6 |
Измерения прямоугольного бруска – 3 см, 4 см, 5 см. Если увеличить каждое ребро, то поверхность увеличится на 54 см. Как при этом увеличится его объем? |
|
|
7 |
Найти площадь сечения куба АВСDA1B1C1D1 с ребром 10, проходящее через точки С1, середины ребер ВВ1, DD1, AD. |
|
|
8 |
Найти объем сферы, полученной путем вращения треугольника вокруг большей стороны. |
|
|
9 |
Найти площадь сечения цилиндра, если известно, что в цилиндр высотой 10 см вписана сфера радиуса 2 см. |
|
|
10 |
Найти
объем правильной шестиугольной призмы,
если сторона основания равна
|
|
.
-
В решении задачи
|
|
Решение, содержащее ошибку |
Исправленное решение |
|
1 |
Имеется квадрат и равновеликий ему круг. Что больше: длина окружности или периметр квадрата? Решение. 1) Пусть а- сторона квадрата, r – радиус окружности.
2) По условию
равновеликость означает равенство
площадей:
3)
Длина окружности больше длине периметра
выражается записью:
|
|
|
2 |
Пусть две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника. Можно ли утверждать что такие треугольники равны. Ответ. Конечно, это же первый признак равенства треугольников. |
|
.
.