Решение

По условию дана функция общих издержек TC = 8Q + 0,5Q². Общий доход TR = P∙Q = 10Q. Прибыль PF = (TR – TC) = 2Q – 0,5Q² max. Так как требуется найти объем выпуска, максимизирующий прибыль, то производная от функции прибыли равна нулю: PF'(Q) = 0. Продифференцируем функцию прибыли по переменной Q. PF'(Q) = 2 – Q. Приравняв производную к нулю, найдем Q = 2 – максимизирующий прибыль объем выпуска. Тогда прибыль будет равна:

PF = 2Q – 0,5Q² = 2 (ден. ед.).

Задача 4. Фирмы находятся в условиях совершенной конкуренции на рынке в долгосрочной перспективе. Общие издержки каждой фирмы описываются уравнением: ТС = Q³ – 12Q² + 48Q, где Q – количество выпускаемой продукции (тыс. шт.), ТС – общие издержки (ден. ед.).

Определите цену, установившуюся на рынке и объем выпуска каждой фирмы. Чему равен общий доход в отрасли, если доля общего дохода каждой фирмы составляет 5 % от общей выручки отрасли?

Решение

Условие равновесия конкурентной фирмы в долгосрочном периоде времени: P = min(AC), где Р – цена выпускаемой продукции; АС – средние издержки каждой фирмы, следовательно, задача сводится к нахождению минимального значения функции AC(Q).

, т.е. АС = Q² – 12Q + 48. AC'(Q) = 2Q – 12, приравняв производную функции и средние издержки к нулю, получим Q = 6 (тыс. шт.) – объем выпуска каждой фирмы. Так как фирмы находятся в долгосрочном периоде, то цена за единицу продукции Р = АС(6) = 12 (ден. ед.).

Общий доход каждой фирмы TR = PQ, подставляя полученные значения в эту формулу, получим TR = 72 (ден.ед.). По условию задачи эта выручка составляет 5 % от общей выручки в отрасли, значит, общий доход в отрасли TR_ОТР. = 1440 (ден.ед.).

Задача 5. В отрасли действуют 100 одинаковых фирм. Общие издержки каждой фирмы можно представить в виде функции TC = 0,2q²_i + 2q_i – 30, где q_i – объем выпуска i-й фирмы. Определите параметры равновесия на рынке в краткосрочный период, если спрос на товар равен Q_d = 1200 – 100P. Чему равен объем выпуска и размеры прибыли отдельной фирмы?

Решение

Для того, чтобы найти параметры равновесия на данном рынке, необходимо знать функцию предложения товара. Ее можно найти, зная функцию предложения отдельной фирмы: MC = TC'(qi), значит, необходимо найти производную от функции общих издержек, т.е. MC = 0,4qi + 2; в условиях совершенной конкуренции в краткосрочный период времени равновесие наблюдается при МС = Р, тогда q_i = 2,5Р – 5.

Функция рыночного предложения будет равна .Так как объемы выпусков отдельных фирм равны, то Q_s = 100∙q_i = 250P – 500.

Условие равновесия на рынке: Q_d = Q_s. Приравнивая соответствующие правые части данных функций, получим Р = 4,86 (ден. ед.), Q = 714 (ед. товара). Так как все фирмы одинаковы, то объем выпуска каждой отдельной фирмы, , т.е. q_i = 7,14 (тов. ед.)

Задача 6. В табл. 23 приведены данные о рыночном спросе на продукцию, выпускаемую фирмой-монополистом, а также зависимость общих издержек монополиста от выпуска продукции. Какой объем производства установит монополист? При какой цене? Каковы его средние издержки? Какова будет его прибыль?

Таблица 23

Цена, ден. ед.	Объём спроса, шт.	Объём издержек, ден. ед.
20	0	2
18	1	18
16	2	26
14	3	36
12	4	48
10	5	62