Лабораторные работы по механике

Лабораторная работа № 9

ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения. Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Маятник Максвелла представляет собой (рис.29) диск 6, закрепленный на оси 7, подвешенный на бифилярном подвесе.

Движение маятника (диска) Максвелла описывается следующей системой уравнений, справедливых для любого твердого тела:

, (1)

. (2)

Первое из уравнений описывает поступательное движение центра масс (тела) под действием приложенных к телу внешних сил, результирующая которых и записана в правой части уравнения (1). Второе уравнение называется уравнением моментов, может быть записано относительно произвольного начала (как неподвижного, так и движущегося). Запись уравнения (2) относительно неподвижного начала может оказаться весьма неудобной, ведь законы движения точек приложения сил, вызывающих моменты, до решения системы (1)-(2) неизвестны. Поэтому начало (относительно которого считаются моменты) удобно жестко связать с движущимся телом, т.е. выбрать начало в системе отсчета, движущейся вместе с телом (т.е. с центром масс тела). Но центр масс тела движется ускоренно, вследствие чего связанная с ним система отсчета неинерциальна. Поэтому при произвольном выборе начала (жестко связанного с движущимся телом) в правой части уравнения (2) должны, появиться в качестве слагаемых моменты сил инерции (появление которых связано с движущейся системой отсчета). Однако, если в качестве начала выбрать центр масс тела, то суммарный момент сил инерции (относительно центра масс) обратиться в нуль. Тогда в правой части уравнения (2) под понимается суммарный момент (относительно центра масс) всех внешних сил, действующих на тело, а под в левой части - момент импульса твердого тела при его вращении относительно оси, проходящей через центр масс.

Так как движение маятника Максвелла - плоское (каждая точка маятника движется в вертикальной плоскости), то второе уравнение упрощается и принимает вид:

, (3)

где L - проекция момента импульса, а M - проекция момента внешних сил на ось маятника. Так как при вращении относительно оси, не меняющей своего направления (в частности, неподвижной), имеет место соотношение:

, (4)

где I - момент инерции тела относительно упомянутой оси,  - угловая скорость вращения (относительно этой же оси). На основании (3), (4) можно записать:

, (5)

. (5а)

В последней формуле ε представляет собой угловое ускорение вращающегося тела.

Так как центр масс маятника движется вдоль одного направления (поднимается или опускается), то уравнение (1) тоже упрощается:

ma = F, (6)

, (6a)

где а - означает проекцию ускорения тела, а F - проекцию суммы внешних сил на вертикальное направление.

Таким образом, система уравнений (1) - (2) принимает вид:

I· = M,

ma = F.

Решая эти уравнения можно определить закон движения маятника. Если же ускорение маятника известно, то можно найти момент инерции (маятника) относительно его оси. Последнее и является целью настоящей работы, когда по измеряемым величинам вычисляется ускорение, а после чего находится момент инерции I.

В нешними силами, действующими на маятник, является сила тяжести mg и суммарная сила натяжения нитей Т (см. рис.28). Принимая за положительное направление вертикали направление вниз, можно переписать уравнение (6) в виде:

ma = mg - T. (7)

Относительно оси маятника моментом обладает только сила натяжения нити:

M = T·R = , (8)

т.е. R - половина внешнего диаметра d оси маятника (толщиной намотанной нити пренебрегаем). С учетом (8) уравнение (5) принимает вид:

I· = T·R. (9)

В

отсутствие проскальзывания нити cвязь между угловым ускорением  маятника и ускорением a его центра масс имеет вид:

a = ·R. (10)

Исключая T,  из (7), (9), (10), можно получить:

. (11)

Так как движение маятника вниз - равноускоренное, то

, (12)

где h - первоначальная высота подъема маятника. Подстановка (12) в (11) позволяет получить окончательную формулу:

. (13)

Кинетическая энергия плоского движения твердого тела [2] равна

,

где v - скорость центра масс, I - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Пренебрегая силами сопротивления, можно получить формулу (13) с помощью закона сохранения механической энергии, приравнивая механические энергии маятника в начальном и конечном положениях, например, для движения вниз

и учитывая, что в отсутствие проскальзывания нити , а для ускоренного движения маятника вниз высота h связана с конечной скоростью v формулой .

Описание экспериментальной установки

На вертикальной стойке крепятся два кронштейна: верхний (2) и нижний (3).

На верхнем кронштейне (2) (рис.29) находится электромагнит (10), фотоэлектрический датчик и намоточный винт (4) для закрепления и регулирования длины бифилярной подвески маятника (5).

Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком (9) можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в произвольно выбранном положении.

Маятник установки - это ролик (6) , закрепленный на оси (7) и подвешенный по бифилярному способу, на который накладывается съемное кольцо (8), изменяя таким образом момент инерции системы.

Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале на стойке. С целью облегчения этого измерения нижний кронштейн оснащен указателем, помещенным на высоте оптической оси фотоэлектрического датчика.

На основании (1), оснащенном регулируемыми ножками, в котором укреплена стойка, находится миллисекундомер (11).

На передней панели миллисекундомера располагаются кнопки "СЕТЬ" (включение сети), "ПУСК" (отключение электромагнита), "СБРОС" (установка нуля измерителя), а также табло "ВРЕМЯ,С" (показывающее время падения груза).

Порядок выполнения работы

1. Запишите в таблицу 1 массу m_c и диаметр d_c стержня; массу диска m_g и массу кольца m_к.

2. Установите подвижный кронштейн в нижней части стойки.

3. Наденьте кольцо массой m_k на диск до упора. Запишите m₁=m_g+m_c+m_k в таблицу 1.

4. Проверив, находится ли кнопка "ПУСК" на миллисекундомере в нажатом состоянии, подключите прибор к сети и нажмите кнопку "СЕТЬ". При этом на табло должны высветиться нули.

5. В нижнем положении маятника стальное кольцо должно находиться примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика, а ось маятника должна быть параллельной основанию прибора. Если эти требования не выполняются, следует отрегулировать подвес. Для этого освободите гайку намоточного винта, накрутите на винт нить, соблюдая правильность намотки и выполнение требуемых условий, затем затяните гайку, зафиксировав винт.

6 . На миллиметровой шкале стойки определите длину маятника h и запишите ее в таблицу 1. Во всех опытах эта величина должна оставаться постоянной.

7. Отожмите кнопку "ПУСК".

8. Намотайте без особых усилий на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, один виток за другим, была не слишком скручена.

9. В верхнем положении маятник зафиксируется электромагнитом. Маятник следует повернуть в направлении его движения на угол 4° - 5°, не отрывая его от электромагнита, чтобы ослабить натяжение нити.

10. Нажмите кнопку "СБРОС", затем "ПУСК".

11. Когда маятник при движении достигнет нижнего положения и отсчет времени прекратится, его следует остановить.

12. Запишите полученное значение времени падения t_i с табло миллисекундомера в таблицу 1.

Таблица 1

dст = (м) , h = (м) , mст= (кг)
№ п/п	m1 = ± (кг)	m2 = ± (кг)
	Измерение времени t (с)	Измерение времени t (с)
1 2  n
t
Et %
I
EI %

13. Повторите измерение времени n раз (не менее 5), начиная с п.7.

14. Сняв стальное кольцо, запишите m₂=m_g+m_c в таблицу1.

15. Повторите опыты, фиксируя все полученные значения в таблице 1.

16. После снятия всех измерений нажмите кнопку "СЕТЬ", отключите установку от сети.

17. Произведите расчет средних значений времени t, их абсолютной и относительной погрешностей E_t.

18. Вычислите момент инерции маятника (с кольцом и без кольца) по формуле:

. (13a)

19. Рассчитайте относительную E_I и абсолютную I погрешности соответственно по формулам:

, (14)

. (15)