Лабораторные работы по механике

Лабораторная работа № 5

ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение характеристик вращательного движения твердого тела. Применение основного закона динамики вращательного движения для определения момента инерции тела.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z

(1)

аналогично второму закону Ньютона F = ma. В формуле (1) М_z - момент внешних сил, действующих на тело относительно оси z; I_z -момент инерции тела относительно оси z;  - угловое ускорение.

Момент силы характеризует вращательное действие силы. Различают момент силы относительно точки (центра) и момент силы относительно оси. Моментом силы (см.рис.13) относительно точки О называется вектор , равный векторному произведению силы и радиуса - вектора , проведенного из точки О в точку К приложения силы:

. (2)

Модуль вектора равен

, (3)

где h = rsin - плечо силы, которое равно длине перпендикуляра, опущенного из точки О на направление силы. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через вектора и в сторону, откуда поворот тела, вызываемый силой , виден против хода часовой стрелки.

Момент силы относительно оси z равен проекции на эту ось момента силы относительно произвольной точки О, лежащей на оси z:

. (4)

Момент силы М_z относительно оси - величина алгебраическая. Кроме формулы (4) для вычисления момента силы относительно оси z можно использовать формулу:

, (5)

где - проекция силы на плоскость ОХУ, перпендикулярную оси z; h_xy - плечо силы (см.рис.13). В формуле (5) знак "+" берется, если с положительного направления оси z поворот тела, вызываемый силой , виден против хода часовой стрелки, и знак "-", если по ходу часовой стрелки.

Момент инерции тела I_z относительно оси z является мерой инертности тела при его вращении относительно этой оси и определяется формулой:

, (6)

где - масса материальной точки, удаленной на расстояние R_i от оси z.

Из формулы (6) видно, что момент инерции тела относительно оси равен сумме моментов инерции отдельных материальных точек тела. Если массу каждого малого объема выразить через плотность тела  и объема точки, то из формулы (6) следует

. (7)

Предел суммы (7) при - это интеграл по объему тела V:

. (8)

С помощью формулы (8) можно вычислять моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс этих тел. В частности, момент инерции однородного прямого круглого цилиндра массой m и радиусом основания R относительно оси z, проходящей через центр масс С этого цилиндра параллельно его боковой поверхности (рис.14а), равен

. (9)

Если же ось z перпендикулярна боковой поверхности такого цилиндра (рис.14б), то момент инерции можно найти по формуле

, (10)

г де R - радиус основания, Н - высота цилиндра.

Для вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси z применяется теорема Штейнера (рис.15): момент инерции тела I относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции I_с относительно оси z, параллельной данной оси z и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

. (11)

Момент инерции тела сложной формы проще определить экспериментально. Из уравнения (1) получим

. (12)

Момент инерции тела I_z можно найти по формуле (12), если экспериментально оценить момент сил M_z и угловое ускорение .

Описание экспериментальной установки

Экспериментальная установка показана на рис.16.

Маятник Обербека состоит из четырех спиц, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На втулке закреплены два шкива 1 с разными диаметрами D и d. Втулка со спицами и шкивами может свободно вращаться относительно горизонтальной оси. Вдоль каждой спицы 2 можно перемещать грузик 3, закрепляя его на расстоянии R от оси вращения. Маятник Обербека и два кронштейна 5 и 6 крепятся к вертикальной стойке 4. Если на шкив 1 намотать нить 8, к ее концу присоединить груз 10 массой m и перекинуть нить через неподвижный блок 9, то, нажимая кнопку "ПУСК", измерить время ускоренного движения груза 10 на расстоянии h с помощью секундомера 7 экспериментальной установки.

Так как начальная скорость груза равна нулю, то , где t - время движения груза. Тогда ускорение груза, направленное вниз, равно

. (13)

На груз действует его сила тяжести и сила натяжения нити . Если на вертикальной оси координат положительное направление выбрать вниз, то проекция второго закона Ньютона на эту ось имеет вид: . Отсюда сила натяжения нити равна

.

Момент силы натяжения, действующий на маятник Обербека, относительно горизонтальной оси z соответственно равен , где r - радиус шкива. Тогда

. (14)

Под действием момента силы маятник вращается с угловым ускорением . Если нить, навитая на шкив, не проскальзывает, то ускорение нити, равное ускорению груза, равно тангенциальному ускорению точек обода шкива . Отсюда

. (15)

Подставляя формулы (14) и (15) в формулу (12), найдем общий момент инерции маятника Обербека относительно горизонтальной оси z, проходящей через центр масс маятника

. (16)

Подставляя формулу (13) в формулу (16) и учитывая, что r = d/2, получим формулу для определения момента инерции маятника Обербека относительно оси вращения:

. (17)

Если момент инерции крестовины со шкивами относительно оси вращения обозначить I_кр, то общий момент инерции маятника относительно этой оси равен

. (18)

Момент инерции I_Г одного цилиндрического грузика относительно оси вращения находим с помощью формулы (10) и теоремы Штейнера (11):

, (19)

где m₁ - масса грузика, , Н - радиус и высота цилиндрического грузика, R - расстояние центра масс каждого грузика до оси вращения. Подставляя формулу (19) в формулу (18), получим момент инерции маятника относительно оси вращения в виде:

, (20)

где .

Согласно формуле (20) меняя расстояние R центров грузиков до оси вращения, изменяем общий момент инерции I маятника Обербека.

Порядок выполнения работы

1. Найдите массу m падающего груза и диаметры D и d шкивов. Установите и измерьте определенную высоту h падающего груза. Запишите найденные результаты в таблицу 1.

2. С помощью кнопки "СЕТЬ" включите экспериментальную установку.

3. Поместите на спицы маятника 4 грузика с массами m₁ на одинаковом расстоянии R₁ от центра шкива и добейтесь безразличного равновесия. Измерьте R₁ и запишите в таблицу 1.

4. В один слой намотайте нить на шкиве с большим диаметром D. Отпустите крестовину и измерьте время падения t_1D груза m с высоты h, нажимая кнопку "ПУСК". После измерения нажмите кнопку "СБРОС". Повторите эти измерения не менее пяти раз. Результаты запишите в таблицу 1.

5. Повторите измерения п.4, наматывая нить на шкив меньшего диаметра d, определяя время t_1d.

6. Повторите измерения п.п.35 для других расстояний R₂, R₃ и R₄ грузиков до оси вращения. Результаты измерений запишите в таблицу 1.

7. Для каждого расстояния R и диаметра шкива найдите средние значения времени падения груза, а также полуширину доверительного интервала t. По формуле (15) вычислите момент инерции I маятника Обербека в каждом случае.

Таблица 1

m = ; D = ; d = ; h = ;
№№ наблюдений	R1 =		R2 =		R3 =		R4 =
	t1D	t1d	t2D	t1d	t3D	t3d	t4D	t4d
1
2
3
4
5
Среднее время
Полуширина доверительного интервала
Момент инерции I
Полуширина доверительного интервала
Угловое ускорение 
Полуширина доверительного интервала 

8. Полуширину доверительного интервала момента инерции маятника определите с помощью формулы:

. (21)