Лабораторна робота № 3 Автокореляція похибок. Метод ейткена

Класична модель множинної регресії припускає, що похибки - це незалежні випадкові величини з нульовим середнім і постійною дисперсією. Проте при застосуванні регресійних моделей на практиці часто зустрічається порушення класичної моделі: похибки виявляються автокорельованими (тобто пізніші значення залежать від попередніх). У разі присутності автокореляції оцінки параметрів класичної моделі множинної регресії втрачають свої статистичні властивості, коваріаційна матриця є зміщеною відносно істинної коваріаційної матриці, оцінка дисперсії похибок теж є зміщеною. Позбавитися автокореляції можна декількома способами:

1. можна спробувати змінити специфікацію моделі так, щоб усунути автокореляцію (наприклад, ввести додатковий регресор).

2. вибрати такий метод оцінювання, які враховує автокореляцію і дає найточніші оцінки параметрів для цього випадку (метод Ейткена).

Використовувати перший підхід важко, тому найчастіше застосовують другий підхід. Значення можуть складним чином залежати від, і т.д., але ми будемо розглядати тільки найпростіший випадок – автокореляцію першого порядку - , де - авторегресійний параметр (коефіцієнт кореляції), а - незалежні випадкові величини.

Перш ніж знаходити цей параметр, необхідно переконатися, що похибки схильні до автокореляції. Для цього використовується тест Дарбіна-Уотсона (d-тест). Нульова гіпотеза припускає відсутність автокореляції (). d-статистика Дарбіна-Уотсона обчислюється таким чином: спочатку методом найменших квадратів оцінюємо значення параметрів регресії, потім знаходимо оцінки похибок, які називаються помилками: . (у матричній формі ) і обчислюємо значення статистики по формулі:

(3.1)

Критичні значення d-статистики Дарбіна-Уотсона приведені в таблицях, у випадку з К=2 і Т=8:

при ,

при .

У випадку коли К=2 і Т=10:

при,

при,

Правила прийняття і відхилення гіпотези:

Якщо розрахункове значення - критерію попадає в область від 0 до, чи від , то можна зробити висновок, що автокореляція похибок в моделі присутня. Якщо розрахункове значення - критерію попадає в область до , чи від до , то не можна зробити висновок про наявність в моделі автокореляції. Якщо розрахункове значення - критерію попадає в середню область, то автокореляції в моделі немає.

Нульова гіпотеза припускає, що автокореляції немає, тобто, щоб зробити висновок про наявність автокореляції, потрібно, щоб значення статистики потрапило в критичну область, в нашому випадку (К=2 і Т=8) значення повинне бути або від 0 до 0.76, або від 3.33 до 4. При попаданні значення статистики в область від 0.76 до 1.33 (від 2.67 до 3.33) ми не можемо зробити висновок щодо автокореляції, і нарешті при значеннях від 1.33 до 2.67 можна стверджувати, що автокореляції немає.

Якщо проведений тест показав, що авторегресія є, то оцінюємо коефіціент кореляції по формулі:

(3.2)

Метод Ейткена можна виконати шляхом побудови допоміжної матриці , яка входить як множник у формули узагальненого МНК ().

По методу Ейткена оцінити параметри моделі можн за формулою:

(3.3)

Якщо відхилення є авторегресійним процесом першого порядку, то матриця  має наступний вигляд:

(3.4)

де - авторегресійний параметр (коефіцієнт кореляції).