1.2 Аналітичні методи
У будівельній механіці розроблено два аналітичних методи визначення зусиль у стрижнях плоских ферм: метод вирізання вузлів і метод наскрізного перетину. Ідея обох методів полягає в тому, що якщо від ферми, що перебуває в рівновазі, подумки відокремити шляхом розрізування стрижнів деяку її частину і до розрізаних стрижнів прикласти фактично діючі в них зусилля, то, як відділена, так і частина ферми, що залишилася, будуть залишатися в рівновазі. Отже, для кожної із цих двох частин можна скласти три рівняння статики:
∑Х = 0; (1.1)
∑Y = 0; (1.2)
∑М = 0. (1.3)
де ∑Х – сума проекцій всіх сил на вісь Х;
∑Y – сума проекцій всіх сил на вісь Y;
∑М – сума моментів всіх сил щодо будь-якої точки.
Вирішуючи ці три рівняння, можна визначити зусилля в трьох розрізаних стрижнях.
1.2.1 Метод вирізання вузлів
З ферми послідовно вирізають вузли. При цьому варто починати з вузла, у якому сходяться не більше двох стрижнів з невідомими зусиллями. Для кожного вузла дія частини, що залишилася, ферми заміняють зусиллями, що діють у розрізаних стрижнях по їхніх осях. Далі розглядається рівновага вирізаного вузла. Складаються два рівняння рівноваги (1.1) і (1.2), з рішення яких визначаються два невідомих зусилля.
Якщо будемо розглядати n вузлів, то одержимо систему з 2n рівнянь, з якої можна визначити не більше 2n невідомих. Якщо число невідомих зусиль більше 2n, то ферма статично невизначена.
Вузли ферми рекомендується нумерувати арабськими цифрами, а зусилля в стрижнях – буквою Ni-j із двома індексами внизу. Індекси відповідають номерам вузлів, які з'єднує розглянутий стрижень. Буквою αi-j позначають кут між напрямками відповідного зусилля і позитивним напрямком осі Y, відлічений проти годинникової стрілки. Для зовнішніх навантажень і опорних реакцій цей кут позначають відповідно βi і γi.
Перед визначенням зусиль у стрижнях ферми будь-яким способом рекомендується виключити нульові стрижні – стрижні, у яких відсутнє зусилля. Нульові стрижні визначають за наступними правилами:
1. У ненавантаженому двострижневому вузлі обидва стрижні є нульовими (рис. 1.2, а).
|
|
||
|
а) |
б) |
в) |
Рисунок 1.2 – Ознаки нульових стрижнів у фермі
2. У ненавантаженому тристрижневому вузлі, у якому осі двох стрижнів розташовані на одній прямій (рис. 1.2, б), третій стрижень є нульовим.
3. Якщо у двострижневому вузлі навантаження діє по напрямку одного зі стрижнів (рис. 1.2, в), інший стрижень – нульовий.
Розглянемо послідовність дій при визначенні зусиль у стрижнях методом вирізання вузлів на прикладі консольної кранової ферми (рис. 1.3).
Рисунок 1.3 – Схема консолі кранової ферми
Вирізаємо вузол 1, тому що в ньому сходяться лише два стрижні. Дію відкинутої частини ферми заміняємо зусиллями N1-2 і N1-3, які спочатку направляємо від вузла, тому що їхній дійсний напрямок невідомий (рис. 1.4).
Рисунок 1.4 – Вузол 1
Складаємо два рівняння статики:
;
.
Спільне рішення цих рівнянь дозволяє визначити два невідомих: N1-2 і N1-3.
Переходимо до другого вузла, у якому сходяться два невідомих зусилля N2-3 і N2-4 і вже відоме N1-2 зусилля. Вирізуємо вузол 2 (рис. 1.5)
Рисунок 1.5 – Вузол 2
і складаємо для нього рівняння рівноваги сил:
;
.
Спільне рішення цих рівнянь дозволяє визначити сили N2-3 і N2-4.
Далі варто вирізати вузол 3, з рішення рівнянь рівноваги якого визначаються сили N3-4 і N3-5. Потім вирізує вузол 4 і так далі до вузла 10.
Варіанти індивідуальних завдань по визначенню зусиль у стрижнях ферми методом вирізання вузлів наведені в табл. 1.1.