Методы проецирования

1. Центральное проецирование

S – центр проецирования

π – плоскость проекции

S А, В – точки в пространстве

A', B' – проекции точек А и В на

плоскость проекции π

A B

A'

B'

π

2. Параллельное проецирование – это частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования отнесен в бесконечность.

S_∞ S – направление проецирования

А, В – точки в пространстве

S S S А', В' – проекции точек

π – плоскость проекции

A B

A' B'

3. Ортогональное проецирование (перпендикулярное) – частный случай параллельного проецирования, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекции.

S

A S B

A' ^α B' α

Инвариантные свойства ортогонального проецирования

1. Проекция прямой есть прямая;

2. Если точка принадлежит прямой в пространстве, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой;

3. Если прямые пересекаются, то пересекаются и их проекции и точки пересечения проекций прямых являются проекции точек пересечения прямых в пространстве;

4. Если прямые параллельны, то параллельны и их проекции.

5. Если плоская фигура параллельна плоскости проекции, то проекция этой фигуры на плоскость конгруэнтна самой фигуре.

Ортогональное проецирование на 2 и 3 плоскости проекции

А – точка в пространстве

Z π₁ – горизонтальная плоскость

π₂ – вертикальная (фронтальная)

плоскость проекции

π₂ А' – горизонтальная проекция т.А

A'' А'' – вертикальная (фронтальная)

II Y_A проекция т.А

Z_A A | A, π₁|=Z_A; |A, π₂|=Y_A

X I

III A_x Z_A

IV A'

π₁

Y

Эпюр

A''

Z_A

A_X

X Y_A

A'

Проекция на 3 плоскости

Z

π₃ – профильная плоскость

π₂ |A, π₃|=X_A

A''

Z_X X_A π₃

II I A A'''

X A_X Z_A O

III IV Y_A

A' A_Y V

π₁

VII Y

Эпюр

Z

A'' Y_A A'''

Z_A

X Y

Y_A

A'

Y

Чтобы построить профильную проекцию точки по имеющимся фронтальной и горизонтальной проекциям, необходимо через фронтальную проекцию точки провести прямую, перпендикулярную оси Z и на ней отложить координату Y точки вправо от оси Z , если она положительна, и влево от оси Z, если она отрицательна.

Проецирование прямой

Эпюр прямой общего положения

A''

a''

B''

X

B'

a'

A'

Прямые частного положения

Прямые уровня

Горизонтальная прямая уровня Фронтальная прямая уровня

b'' |b|=|b'| |c|=|c''| c''

π₁ =(b^π₂) α=(c^π₁)

α

X X

β

b'

c'

Профильная прямая уровня

c || π₃ A'' Z A'''

B'' B'''

X Y

A'

B' Y

Прямые проецирующие

Горизонтально проецирующая прямая Фронтально проецирующая прямая

m | π₁ n | π₂

m'' | X n''≡k''

A''≡m''

X X

n'≡k'

m'≡A'

Профильно проецирующая прямая

A'' Z

a'' A'''≡a'''

X a' Y

A'

Y

Определение действительной величины отрезков прямой общего положения и наклонных углов

B

∆Z A''₀ B''

β ∆Z Z_B

α

A Z_B A'' Z_A

X Y_B

Z_A Y_A ∆Y B'

α

B' A' B'₀

A₀ α ∆Z

π₁ A'₀

Правило: чтобы определить действительную величину отрезка прямой общего положения, необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого один катет – горизонтальная проекция отрезка. Второй катет по величине равен разности расстояний концов отрезка от плоскости отрезка π_1, т.е. ∆Z. Гипотенуза этого треугольника равна действительной величине отрезка, угол между гипотенузой (действительной величиной отрезка) и катетом (горизонтальная величина отрезка) – α=([AB]^π₁) угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости отрезка π₁.На основании фронтальной проекции отрезка действительная величина строится аналогично. β=([AB]^π₂)

Теорема: Если точка в пространстве принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат проекциям этой прямой.

Если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то проекции точки делят проекции отрезка в том же соотношении.

B'' M a => M' a' /\ M' a''

a'' [AM] [A''M''] [A'M']

M'' [MB] [M''B''] [M'B']

A''

X

A' a'

M'

B'

Следы прямой

Следы прямой – точки пересечения прямой с плоскостями проекций.

H_a – горизонтальный след прямой

F_a – фронтальный след прямой

π₂

F_a≡F_a''

II a''

I a

F_a'

H_a'' a'

H_a≡H_a'

IV π₁

Эпюр II

I F_a≡F_a''

a''

IV

H_a''

X

a'

H_a≡H_a'

Правило: чтобы построить горизонтальный след прямой, необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью X. Точка пересечения – это фронтальная проекция горизонтального следа прямой. Затем провести линию связи, перпендикулярную оси X из этой точки до пересечения с продолжением горизонтальной проекцией прямой. Получается точка – горизонтальный след прямой совпадает со своей горизонтальной проекцией. Фронтальный след прямой строится аналогично.