Лекции по моделированию Котов Назарова
.pdfСтр. 1. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
Основные понятия и определения методов (математического) моделирования (РТС)
Классификация методов моделирования
Задачи:
1.Создание таких систем (анализ работоспособности)
2.Эксплуатация (выявление неисправностей)
3.Модернизация (отработка новых систем управления, замена приводов и т.д.)
Решение этих задач может быть выполнено методами математического моделирования.
Основная идея моделирования заключается в замене исходных явлений или систем (оригиналов) другими явлениями или системами, называемыми моделями, т.е.:
Задачи, которые необходимо решить на оригинале, решаются на его модели, и
результаты переносятся на оригинал (рис. ).
В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.
Моделирование относится к приближенным универсальным методам исследования. С помощью этого метода могут быть решены достаточно
Стр. 2. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
сложные задачи. Иногда только он и работает. Дает информацию в удобном
инаглядном виде.
Кнедостаткам следует отнести:
1. Приближенность (при математическом моделировании требуется использование численных методов, а это - проблемы точности, устойчивости,
сходимости и т.д.).
2. С точки зрения синтеза САУ дает частные решения (например,
трудно ответить на вопрос об устойчивости).
В зависимости от физической природы модели моделирование подразделяется на следующие направления:
Моделирование
физичекое полунат урное мат емат ическое
ст ат ическое |
|
Кинемат ическое |
|
|
|
|
Динамическое |
||
(геомет рич.) |
|
(имит ационное) |
|
(имит ационное) |
(логич.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведенная классификация носит частный характер, (применительно к задачам, рассматриваемым в курсе). Более полную классификацию можно найти, например, в [ ], стр.22, для других задач и предметных областей.
Физическое моделирование: природа оригинала и модели, как правило, одинаковы, например, продувка макета самолета в аэродинамической трубе; имитация работы космонавта с помощью макета станции над водой.
Математическое моделирование - это процесс установления соответствия между реальными объектами и некоторой математической конструкцией, называемой математической моделью. (Это направление и будет рассмотрено в курсе, применительно для РТС).
Полунатурное моделирование: модель определяется двумя составными частями (“физическая” + “математическая”). Практически это
Стр. 3. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
реализуется сопряжением реальной аппаратуры с вычислительными
средствами. Например:
-Робот = система приводов (реальная аппаратура) + манипулятор
(“математическая” часть, реализуемая на ЭВМ).
-Летательный аппарат = “корпус” + автомат.
Статическое моделирование служит для описания подведения объекта в какой-либо момент времени. Очень часто это моделирование используют для получения ответа на поставленный вопрос типа “да”, “нет”,
поэтому иногда называют логическим (“событийным”). Например, сможет ли робот “дотянуться” до какого-либо объекта. Возможны ли какие-либо конфликтные ситуации при совместно работе нескольких роботов и т.д.
При кинематическом моделировании рассматривается поведение
(движение) объекта во времени, но без учета причин, вызвавших это движение. Например, исследуются скорости, ускорение движения схвата одного манипулятора в зависимости от скоростей, ускорений движения его звеньев.
Динамическое моделирование отображает причинно-
следственные взаимосвязи в поведении (движении) объекта, т.е.
рассматривает не только движение, но и причины, вызвавшие это движение
(сила → ускорение, /закон Ньютона/, напряжение → ток, /закон Ома/ и т.д.).
Например, рассматриваются процессы прохождения и преобразования сигналов от входных воздействий, поступающих на приводы до поведения всех элементов манипулятора, в том числе и схвата.
Кинематическое и динамическое моделирование определяют имитационное моделирование, т.е. такое моделирование, при котором временная последовательность событий в модели и в реальном устройстве одинакова. С помощью имитационного моделирования исследуется движение реального объекта, (результаты которого часто представляются с помощью машинной графики).
В зависимости от используемых вычислительных средств различают:
Стр. 4. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
-моделирование на ЦВМ (цифровое моделирование);
-моделирование на АВМ (аналоговое моделирование);
-моделирование на АЦВМ (гибридное моделирование).
Рассмотрим более подробно вопросы математического моделирования.
Общая схема исследований с помощью этого метода может быть представлена следующим образом:
Объект
Задача |
Модель |
Моделирование |
Результат |
Объект – робототехнические системы и их элементы.
К тем общим задачам, которые были сформулированы выше, следует отнести и более конкретные. Это, в частности:
Проверка качества работы систем управления, приводов и т.д.
Определение запасов устойчивости, качества переходных процессов
(времени, перерегулирования).
Моделирования влияния изменения параметров на качество работы, исследование нештатных ситуаций.
Исследование надежности систем.
Моделирование технологических операций: транспортных,
сборочных, механообработки и т.д.
Стр. 5. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
Моделирование работоспособности РТС в условиях ограничений внешней среды.
Моделирование пропускной способности системы
(производительности).
Существуют и другие задачи, не включенные в приведенный выше список.
Математическая модель. В общем случае будем описывать с помощью следующих величин.
U |
P |
Y |
|
ММ
X
U = (u1, u2, ...um)т - вектор входных переменных. Сюда входят управляющие сигналы, сигналы, определяемые внешней средой, сигналы,
поступающие с других объектов.
Y = (у1, у2, ...уl)т - вектор выходных координат. P = (p1, p2, ...pk)т - вектор параметров.
X = (x1, x2, ...xn)т – вектор фазовых координат (вектор состояния).
Приведенные выше величины являются в общем случае функциями времени t.
Математическая модель объекта (реальной системы) - конечное подмножество математических зависимостей между составляющими векторов u, y, p, x.
ММможет быть получена теоретическим и эмпирическим путем (в
последнем случае по принципу “черного ящика” с использованием теории идентификации).
ММхарактеризуется универсальностью, точностью, экономичностью.
Для одной и то же системы может быть разработано несколько моделей
в зависимости от поставленных задач. Каждая модель характеризуется своей
Стр. 6. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
степенью “детализации”. В связи с этим различают “микро”, “макро” и
“мета” модели. Эта классификация носит условный характер, и может быть выполнена по различным критериям. Например, аналитическое исследование
|
|
перемещений |
|
стержня |
||
F |
F |
определяется |
уравнениями |
в |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частных производных, при этом |
||||
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
получаются |
достаточно |
точные |
||
|
|
результаты |
- |
это модель |
на |
|
|
|
“микро” |
– |
уровне |
(При |
практических исследованиях используют метод конечного элемента). В
задачах, где нет необходимости исследования перемещений в каждой точке стержня (например, в механических передачах СУ), а вызывающим интерес является только перемещение конца стержня, можно ограничиться известным соотношением: F=C·ΔХ
Применительно к РТС, например:
“Микро” - детальное рассмотрение отдельных элементов приводов манипуляторов (усилители, МП, упругие звенья и т.д.) - описано как правило в частных производных.
“Макро” - модели приводов, манипуляторов, технологических операций и т.д. - описаны в обычных производных.
“Мета” - рассмотрение распределенной РТС - логическое моделирование - используемый математический аппарат основывается на теории графов (метод конечных автоматов, сети Петри).
/Вопросы моделирования на “макро” уровне будут в основном рассмотрены в одном курсе; на “мета” - в другом/.
Проблемы построения моделей. Определение ее структуры и параметров. Как уже отмечалось, - теория идентификации. Но кроме этого при построении моделей и моделировании используются и другие подходы,
основанные, в частности, на понятии аналогии. Это сходство различных
Стр. 7. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
объектов по некоторым признакам. Объекты, сходственные по соответствующим признакам, называются аналогами.
Аналоговое моделирование - это замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом. По этому принципу моделирования построены аналоговые ЭВМ, где исследование процессов,
протекающих в реальных объектах, заменяется исследованием процессов,
протекающих в электрических цепях ЭВМ, построенных на операционных
усилителях. |
|
|
|
|
|
Аналогичные |
модели могут |
Uвх |
Uвых |
быть построены |
на основе 4-х |
полюсников.
Построение ММ и исследование движения многомассовых систем может быть выполнено на основе механической аналогии.
F1 |
F2 |
F3 |
|
|
F |
|
|
|
|
|
n |
|
m1 |
m2 |
m3 |
... |
mn |
|
|
|
|
|
|
Для САУ модель устойчивости и неустойчивости может быть |
|||||
проиллюстрирована следующим образом: |
|
|
|
лин. СА У (одно положение) |
нелин. СА У (неск ольк о положений равновесия) |
уст. |
не уст. |
Моделирование предполагает комплекс средств для работы с ММ с целью получения поставленных в задачах результатов. Определяет последовательность ... Y(ti) Y(ti+1) ...
Это: численные методы, алгоритмы, программное обеспечение,
методика проведения исследований. Непосредственное получение Y(t).
Математические модели динамических систем
Основными формами математического описания динамических систем являются:
уравнения состояния;
Стр. 8. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
передаточные функции (ПФ) для линейных систем;
графо-аналитическое представление (структурные,
функциональные и структурно-функциональные схемы).
Урия |
ПФ |
состояния
ММ
Графанал.
Причем, существует определенная взаимосвязь между этими формами представления:
Рассмотрим подробнее каждую из этих форм.
-В виде уравнений состояния:
X F (u, x,t)
Y f (u, x,t)
u, y, t, x - уже введены в рассмотрение.
F; f - вектор функции.
Если система линейна, то она может быть представлена в виде:
X Ax Bu
Y Cx Du
А,В,С,Д - матрицы, размерность которых определяется размерностью векторов X,U,Y, зависящие или независящие от t.
Иногда эти матрицы называют следующим образом:
А(nxn) - матрица объекта;
Стр. 9. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
В(nxm) - матрица управления;
С(lxn) - матрица выхода Д(lxm) - матрица компенсации
n; m; l - размерность вектора состояния, число входов и выходов соответственно.
Построение моделей в данном случае сводится к определению вектор-
функций F; f или матриц А, В, С, D.
Моделирование достаточно просто выполняется после выбора из многообразия численных методов наиболее соответствующего поставленным задачам.
-В виде передаточных функций (ПФ) для линейных систем.
Если рассматривается система с одним входом и одним выходом:
U |
|
|
Y |
MM |
Y (S) |
W (S) |
|
|
|
ММ |
|
|
U (S) |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
W(s) - ПФ, представляемая, как правило, в виде отношения двух полиномов ст “s”.
Если система имеет “m” входов и “l” выходов, то математической моделью не является матричная передаточная функция, каждый элемент который является скалярной величиной, аналогичной предыдущему случаю.
U1 |
|
Y1 |
MM W (S) |
Yi (S) |
||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
ММ |
|
ij |
U j |
(S) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Um |
W(S) |
Yl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построение модели - определение коэффициентов полиномов.
- Графо-аналитический подход отображает графически процесс прохождения и преобразования сигналов в системе.
В структурных схемах процесс преобразования определяется типовыми элементами: интеграторы, апериодические звенья, колебательные,
сумматоры, усилители, нелинейные характеристики и т.д. Как правило, вид
Стр. 10. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
типового звена однозначно определяет алгоритм преобразования,
поступающего на элемент сигнала.
- |
1 |
1 |
Jp |
p |
В функциональных схемах элементы определяют только свое назначение, поскольку алгоритм преобразования сигналов или очень сложно представить, или практически невозможно. Например,
U |
|
αдв |
|
|
манипулятор |
|
|
|
|
|
|
двигатель |
Q |
q, q, q |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В одних случаях (двигатель) функциональный элемент является совокупностью структурных, в другом (манипулятор) описывается сложными уравнениями, и не может быть представлен в виде типовых звеньев.
U |
|
|
w |
kM |
1 |
(a) |
|
д |
|||
- |
Lяp+Rя |
p |
|
kw
С “инженерной” точки зрения графо-аналитическая форма является наиболее удобной ММ, поскольку включает в себя и “математическую”, и “физическую” основу процессов.
Задача построения таких ММ - определение структуры и параметров.
Моделирование основывается на использовании специальных алгоритмов.