6.2. Векторний добуток векторів.

Означення 16. Впорядкована трійка некомпланарних векторів , приведених до спільного початку, називається правою (лівою), якщо по цим векторам можна спрямувати відповідно великий, вказівний та середній пальці правої (лівої) руки. Або ж при повороті на найменший кут від вектору до вектору напрямок вектору відповідатиме руху правого (лівого) гвинта. (див. мал. нижче). Зрозуміло, що при зміні напрямку одного з векторів, або при зміні порядку нумерації двох з векторів трійка міняє свою орієнтацію на протилежну. Завжди вважатимемо, що орти ПДСК мають праву орієнтацію.

Права трійка векторів Ліва трійка векторів

Означення 17. Векторним добутком двох векторів називається вектор , що визначається трьома умовами:

1. де – кут утворений векторами та ;

2. вектор ортогональний до обох векторів та ;

3. вектори утворюють праву трійку.

Для векторного добутку використовуватимемо позначення .

Властивості векторного добутку векторів.

1. – антикомутативність векторного добутку є наслідком зміни орієнтації трійки векторів при зміні їх порядку;

2. – скалярний множник можна виносити за знак векторного добутку (доведіть це самостійно);

3. – дистрибутивність векторного добутку буде доведена дещо пізніше;

4. дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і ;

5. тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні або принаймні один з них нульовий (доведіть це самостійно).

Знайдемо вираз векторного добутку через координати векторів-множників. Розглянемо вектори та . Визначимо їх векторний добуток, скориставшись властивостями векторного добутку та врахувавши, що :

(5)

Якщо пригадати вигляд формули для обчислення визначника матриці розмірності 3, то можна записати:

(6)

Приклади.

5. Знайдемо площу трикутника, побудованого на векторах з прикладу 3.

Для цього визначимо спершу векторний добуток даних векторів:

Модуль цього вектора визначає площу паралелограма, побудованого на векторах і , отже шукана площа трикутника складає половину цієї величини:

Фізичний зміст векторного добутку.

1. Одним з основних понять статики є момент сили , прикладеної до деякої точки Р відносно фіксованої точки О.

Моментом сили , прикладеної до точки Р відносно фіксованої точки О, називається вектор , де – радіус-вектор точки Р. За величиною момент сили рівний – добуток величини сили на плече.

2. Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі зі сталою кутовою швидкістю , то миттєва швидкість довільної точки Р цього тіла, як відомо, визначається формулою Ейлера: , де – радіус-вектор точки Р відносно полюса О на осі обертання . Напрямлений вектор швидкості по дотичній до кола, по якому рухається точка Р у бік обертання.

6.3. Мішаний добуток трьох векторів.

Означення 18. Мішаним добутком впорядкованої трійки векторів називається число, рівне .

Якщо кут між векторами та позначити , а кут між векторним добутком та вектором – , то значення мішаного добутку можна обрахувати наступним чином: (7)

Властивості мішаного добутку векторів.

1. Мішаний добуток правої трійки векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Це очевидно (див. мал.), оскільки площа основи такого паралелепіпеда рівна , а висота рівна . Отже, . Проте, у випадку лівої трійки векторів кут виявиться тупим і для визначення об’єму паралелепіпеда треба використовувати модуль мішаного добутку . Крім того, очевидно, що знак мішаного добутку визначає орієнтацію трійки векторів: якщо , то трійка векторів права, інакше трійка ліва. Якщо ж вектори компланарні, тобто паралельні одній площині, то висота такого «паралелепіпеда» рівна 0, отже нулю рівний і його об’єм.

2. (8)

Дійсно, площу паралелограма можна визначити, взявши за основу іншу грань, наприклад, утворену векторами та . Тоді маємо . А оскільки орієнтація трійки така сама, як і трійки , то таким чином, бачимо, що у мішаному добутку векторів не має значення, до якої пари множників і чи і застосовувати векторне множення. Власне тому мішаний добуток просто позначають , оскільки важливим виявляється лише порядок множників.

3. (9)

Дана властивість легко випливає із узагальнення властивості 2 та антикомутативності векторного добутку.

4. тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні.

Достатність цього твердження була обґрунтована при доведенні першої властивості, тому доведемо тут необхідність. Отже, нехай . Якщо принаймні один з множників є нуль-вектором, то трійка напевне компланарна, тому далі вважатимемо, що всі вектори-множникі ненульові. У такому випадку із формули (7) випливає, що кут – це означає компланарність векторів, або ж кут . В цьому разі вектори і колінеарні, що також означає компланарність векторів .

5. 

Дана властивість є наслідком відповідних властивостей скалярного та векторного добутків.

6. 

– дистрибутивність мішаного добутку.

Знайдемо тепер вираз мішаного добутку через координати векторів-множників. Розглянемо вектори , та . Визначимо їх мішаний добуток.

Оскільки , а , то . Остаточно одержуємо формулу

(10)

Зауваження. З формули (10) та властивості 3 мішаного добутку випливає, що визначник матриці розмірності 3 не зміниться при циклічній перестановці рядків і змінить знак на протилежний при перестановці двох рядків.

Приклади.

6. Знайдемо об’єм тетраедра з вершинами .

Даний тетраедр утворений векторами . Оскільки орієнтація цієї трійки нам невідома, об’єм тетраедра визначатимемо як модуля мішаного добутку векторів :

6