Б3. Обратное интерполирование (случай неравноотстоящих узлов)

По таблице задачи Б1 определить значение аргумента x^*, соответствующее указанному значению y^* функции f(x).

1. y^*=0,914 2. y^*=0,857 3. y^*=0,829

4. y^*=0,777 5. y^*=0,695 6. y^*=0,175

7. y^*=0,326 8. y^*=0,391 9. y^*=0,454

10. y^*=0,743 11. y^*=0,93 12. y^*=1,15

13. y^*=2,02 14. y^*=2,07 15. y^*=2,09

16. y^*=3,873 17. y^*=4,062 18. y^*=4,243

19. y^*=4,9 20. y^*=3,5 21. y^*=0,8

22. y^*=2,5 23. y^*=2,7 24. y^*=1,1

25. y^*=2

Б4. Обратное интерполирование (случай равноотстоящих узлов)

По таблице задачи Б2 определить значение аргумента x^*, соответствующее указанному значению y^* функции f(x).

1. y^*=0,81 2. y^*=0,82 3. y^*=0,83

4. y^*=0,84 5. y^*=0,86 6. y^*=1,7

7. y^*=1,75 8. y^*=1,8 9. y^*=1,65

10. y^*=1,83 11. y^*=3,008 12. y^*=3,010

13. y^*=3,046 14. y^*=3,035 15. y^*=3,040

16. y^*=0,35 17. y^*=0,36 18. y^*=0,37

19. y^*=0,345 20. y^*=0,361 21. y^*=3,2

22. y^*=2 23. y^*=3 24. y^*=4

25. y^*=5

Численное дифференцирование. Формулы численного дифференцирования. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании. Выбор оптимального шага численного дифференцирования

При численном решении многих практических задач часто возникает необходимость получить значения производных различных порядков функции y=f(x), заданной в виде таблицы или в виде сложного аналитического выражения, непосредственное дифференцирование которого затруднено. В таких случаях используются приближенные методы дифференцирования.

Рассматривается следующая задача:

На сетке в узлах x_i заданы значения y_i=f(x_i) функции f(x), непрерывно дифференцируемой n+1+m раз. Требуется вычислить производную и оценить погрешность.

Один из возможных путей решения этой задачи заключается в применении теории интерполирования. Построим для функции f(x) по узлам x_i, i=0,1,...,n интерполяционный полином P_n(x) с остаточным членом R_n(x) так, что

. (1)

Продифференцируем правую и левую части соотношения (1) по x m раз и положим x=x^*

. (2)

Производная от многочлена P_n^(m)(x) применяется для приближенного представления искомой производной f^(m)(x):

. (3)

Вычисление высших производных может быть сведено к последовательному вычислению низших, поэтому мы остановимся более подробно на получении расчетных формул для . Приближенные формулы для вычисления производных в начале и в конце таблицы получаются путем дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона, а для вычисления производных в середине таблицы - путем дифференцирования интерполяционных многочленов Стирлинга и Бесселя.

Например, если выбрать узлы x₀,x₁,x₂,x₃,x₄ и воспользоваться первым интерполяционным многочленом Ньютона, то мы получим формулу численного дифференцирования вида

(4)

где .

На практике часто выгоднее выражать значения производных не через конечные разности, а непосредственно через значения функции в узлах. Для получения таких безразностных формул удобно воспользоваться многочленом Лагранжа с равномерным расположением узлов (x_i-x_i-1=h, i=1,2,...,n).

Запишем многочлен Лагранжа второй степени (три узла интерполирования).

(5)

Тогда

(6)

В основном формулы численного дифференцирования применяют для вычисления производных в узлах x_i. Подставим в равенство (6) последовательно значения x=x₀;x₁;x₂. Получим:

;	(7)
;	(8)
.	(9)

Остаточные члены формул численного дифференцирования (7) - (9) получим дифференцированием остаточного члена

многочлена Лагранжа (5) и последовательной подстановкой в выражение для значений x=x₀;x₁;x₂.

;	(10)
;	(11)
.	(12)

Записывая интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени (четыре узла) и его остаточный член, получим следующие формулы для производных в узлах:

;	(13)
;	(14)
;	(15)

. (16)

В случае многочлена четвертой степени (пять узлов) получим:

;	(17)
;	(18)
;	(19)
;	(20)
.	(21)