Метод Ньютона-Рафсона.

Предполагаем, что унимодальная функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема. Тогда для решения уравнения f’(x)=0 можно применить метод касательных (Ньютона)

(14)

Алгоритм.

Исходные данные. x₀- начальная оценка координаты стационарной точки, ξ – параметр окончания счета.

Шаг 1. k=0.

Шаг 2. .

Шаг 3. Если , то , конец.

Шаг 4. k=k+1, перейти к шагу 2.

Последовательность (14) сходится к стационарной точке лишь при выполнении определенных условий, накладываемых на вид функции и выбор начальной точки (теорема о сходимости метода касательных).

Типовые задачи.

Задача 6. Определить отрезок, содержащий точку максимума функции

Решение.

Поскольку

x*>30, x₁=35.

Далее x₂=x₁+2h=35+10=45.

Задача 7. Найти точку максимума функции f(x)=sin(x) на отрезке [1,5;1,6] методом дихотомическиого поиска. δ=0,01;ε=0,035.

Решение.

Итерация 1.

Итерация 2.

Итерация 3.

y = 1,57; z = 1,59; A = 1,000; B = 0,9998;

A > B; a₄ = a₃ = 1,56; b₄ = 1,59.

Итерация 4.

b₄ – a₄ = 0,03 < ; x^*  [1,56; 1,59].

Задача 8. Найти точку максимума функции f(x) = sin x на отрезке [1,5; 1,6] методом золотого сечения,  = 0,02.

Решение. = 1,6180; a₁ = 1,5; b₁ = 1,6.

y = 0,6180  1,5 + 0,3820  1,6 = 1,5382.

z = 0,3820  1,5 + 0,6180  1,6 = 1,5618.

A = sin y = 0,99947; B = sin z = 0,99996.

Итерация 1. Так как A < B, то a₂=y=1,5382; b₂=b₁=1,6.

y=z=1,5618; A=B=0,99996;

z = 0,3820  1,5382 + 0,6180  1,6 = 1,5764;

B = sin z = 0,999984;

b₂ – a₂ = 0,0618 > .

Итерация 2. Так как A < B, то a₃=y=1,5618; b₃=b₂=1,6.

y=z=1,5764; A=B=0,99998;

z = 0,3820  1,5618 + 0,6180  1,6 = 1,5854;

B = sin z = 0,99989;

b₃ – a₃ = 0,0382 > .

Итерация 3. Так как A > B, то a₄=a₃=1,5618; b₄=z=1,5854.

z=y=1,5764; B=A=0,99998;

y = 0,6180  1,5618 + 0,3820  1,5854 = 1,5708;

A = 1,00000;

b₄ – a₄ = 0,0236 > .

Итерация 4. Так как A > B, то a₅=a₄=1,5618; b₅=z=1,5764.

z=y=1,5708; B=A=1,00000;

y = 0,6180  1,5618 + 0,3820  1,5764 = 1,5674;

A = sin y=0,99999;

b₅ – a₅ = 0,0146 < , следовательно,

x^*  [1,5618; 1,5764].

Задача 8. Найти точку максимума функции f(x) = –2x² – 16/x на отрезке [1; 5] методом средней точки,  = 0,1.

Решение.

f  (x)= 16/x² – 4x.

Итерация 1.

; f  (3) = –10,222 < 0; b=3.

Итерация 2.

; f  (2) = –4 < 0; b=2.

Итерация 3.

; f  (1,5) = 1,111 > 0; a=1,5.

Итерация 4.

; f  (1,75) = –1,775 < 0; b=1,75.

Итерация 5.

; f  (1,625) = –0,441 < 0; b=1,625.

Итерация 6.

; f  (1,562) = 0,3036 > 0; a=1,5625.

Итерация 7.

; f  (1,594) = –0,077;

| f  (1,594) | < , x^*  1,594.

Задача 10. Найти точку максимума функции f(x) = sin x на отрезке [1; 3] методом Ньютона-Рафсона, x₀=2;  = 0,001.

Решение.

Итерация 1.

f  (2)=cos 2= –0,4161; f  (2)= –sin 2= –0,9093;

; f  (x₁)=cos 1,5424= 0,0284 > .

Итерация 2.

f  (1,5424)= –sin 1,5424= –0,9996;

;

|f  (1,5708)|=|cos 1,5708|= |–0,000015| < ;

x^* = 1,5708.

Задача Д1.

Отделить все корни уравнения f(x)=0 и вычислить 3 корня с точностью до трех знаков различными методами (хорд, касательных, итераций).

1. x³–10x+2=0 x³–10x+2=0

2. x⁵–7x+1=0

3. 5cos x+x=0

4. x³–9x+2=0

5. x⁵–6x+2=0

6. 2x³–3x²–12x–5=0

7. 3sin x – x – 0,2=0

8. x³–3x–1=0

9. 2x³–3x²–12x–5=0

10. 2x³–9x²–60x+1=0

11. x³–3x²–9x+3=0

12. x³–2x²–4x+7=0

13. x³–8x+2=0

14. x³–7x+3=0

15. x³–12x+1=0

16. 2x³–7x+3=0

17. 3x³–5x+1=0

18. x³–2x²–5x+3=0

19. 4cos x–x=0

20. 2x³–9x+2=0

21. 2x³–2x²–7x–2=0

22. x³–11x+4=0

23. x³–5x²+7=0

24. x³–3x²+1=0

25. x⁵–6x²+1=0

Задача Д2.

Методом Свенна найти отрезок, содержащий точку экстремума унимодальной функции f(x).

Вычислить точку экстремума методом хорд, =0,05.

f(x)=x²+1  min.

f(x)=3x–x²–1  max.

f(x)=2x–x²–1  max.

f(x)=2x²+3  min.

f(x)=x²+x+1  min.

Вычислить точку экстремума методом Ньютона-Рафсона, =0,01.

f(x)=10x²+7x+1  min.

f(x)=15x–2x²+5  max.

f(x)=3+7x–2x²  max.

f(x)=4–3x²  max.

f(x)=5–4x–x²  max.

Вычислить точку экстремума методом средней точки, =0,05.

f(x)=4–5x+x²  min.

f(x)=2x²–1 min.

f(x)=4–2x–x²  max.

f(x)=2–x²  max.

Вычислить точку экстремума методом дихотомического поиска, =0,2.

f(x)=  max.

f(x)= min.

f(x)=ln(x²+1)  min.

f(x)=x²+2 min.

f(x)=x²–3x+1 min.

f(x)=x²+x+2 min.

Вычислить точку экстремума методом золотого сечения, =0,2.

f(x)=3–x–x²  max.

f(x)= max.

f(x)=2x²–7x–3  min.

f(x)=x²+4x–5 min.

25 f(x)=  min.