A2. Обратная задача теории погрешностей.

С каким числом верных знаков следует взять значения аргументов функции из задачи А1, чтобы значение этой функции имело четыре верных знака?

Интерполирование. Постановка задачи интерполирования. Полином Лагранжа, Стирлинга, Бесселя, Ньютона. Обратное интерполирование.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на интервале [a ,b] и заданную некоторыми своими значениями y_i=f( x_i ), i=0,1, . . . ,n для соответствующих значений аргумента ax₀<x₁<. . . <x_nb. Необходимо найти значение этой функции в точке x^*[a ,b], x^*x_i и оценить погрешность полученного приближенного значения.

Один из возможных путей решения поставленной задачи заключается в следующем:

1. для функции f(x) по значениям y_i в узлах x_i , i=0,1, . . . ,n строится многочлен степени не выше n

Pn(x) = a0 xn +a1xn-1+. . .+an-1x+an ,

(1)

принимающий в точках x_i значения y_i , т.е. значения коэффициентов многочлена  a_i  находятся из условия:

P_n(x_i ) = y_i , i=0,1, . . . , n .

Этот многочлен называется интерполяционным. Он всегда существует и единственен.

Функция f(x) представляется в виде: f(x)= P_n(x ) + R_n(x), (2)

где R_n(x)  остаточный член интерполяционной формулы. Если функция f(x) имеет непрерывную производную порядка (n+1) на [a,b], то

(3)

2) Вычисляется значение P_n(x^*). Если значения y_i заданы приближенно или же по какимлибо причинам вычисления не могут быть выполнены абсолютно точно, то фактически вычисляется лишь приближенное значение для точного значения P_n(x^*).

3) Приближенно принимается, что f(x^*)  _n(x^*).

4) Оценивается погрешность метода по остаточному члену интерполяционной формулы:

,	(4)
где .	(5)

5) Оценивается погрешность вычисления по погрешностям приближенных значений исходных данных:

2   Pn(x*)  n(x*).

(6)

Таким образом, полная погрешность приближенного значения есть

  1 + 2  f(x*)  n (x*) .

(7)

Для достаточно гладких функций и достаточного количества узлов на интервале интерполирования погрешность метода будет достаточно мала. При достаточной точности исходных значений y_i и достаточной точности вычислений вычислительная погрешность будет также достаточно мала; следовательно, приближенное значение в этом случае будет достаточно мало отличаться от точного значения f(x^*).

При решении практических задач интерполяционный многочлен строят в различных формах.

Одна из таких форм  интерполяционный полином Лагранжа:

(8)

Остаточная погрешность значения L_n(x^*), вычисленного по формуле (8), оценивается формулой (4), а вычислительная погрешность

(9)

где y_i  погрешность исходных данных (значений функции в узлах).

Обычно интерполяционный полином составляется не по всем узлам таблицы, а лишь по некоторым, находящимся вблизи x^*.

В случае равноотстоящих узлов, то есть когда

xi = x0 + i h , i=0,1,...,n,

(10)

где h - шаг интерполяции, целесообразно использовать интерполяционные полиномы Стирлинга, Бесселя и Ньютона.

Для более компактной записи этих полиномов обычно вводят понятие конечных разностей.

Будем называть конечными разностями первого порядка функции y=f(x) в точке x_i следующие величины :

yi = yi+1 – yi ,

(11)

а конечные разности к–го порядка определяются такими рекуррентными соотношениями :

 k yi = k-1 yi+1 - k-1 yi .

(12)

Конечные разности функции y=f(x) удобно записать в виде таблицы 1 :

Таблица 1.

xi	yi	yi	2yi	3yi	4yi
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
x -2	y -2
		y -2
x-1	y -1		2y -2
		y -1		3y -2
x 0	y 0		2y-1		4y -2
		y 0		3y -1
x 1	y 1		2y 0
		y 1
x 2	y 2
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.

Например,

xi	yi	yi	2yi	3yi	4yi
30	0,5000
		0,0736
35	0,5736		-0,0044
		0,0692		-0,0005
40	0,6428		-0,0049		0
		0,0643		-0,0005
45	0,7071		-0,0054		0,0002
		0,0589		-0,0003
50	0,7660		-0,0057		-0,0004
		0,0532		-0,0007
55	0,8192		-0,0064
		0,0468
60	0,8660

Если все исходные значения y_i заданы с одной и той же погрешностью ^*, то эта погрешность распространяется на разности порядка m с коэффициентом 2^m и быстро растет с ростом m : ^*(^my_i) = 2^m^* (это легко показать, если вспомнить определение погрешностей арифметических действий). А так как соответствующие конечные разности ^m y_i будут убывать с ростом m, то наступит такая ситуация, когда все погрешности конечных разностей станут сравнимы или больше самих конечных разностей, и их использование станет нецелесообразным. Поэтому порядок последних конечных разностей, которые еще целесообразно использовать в вычислениях, называют порядком правильности таблицы конечных разностей, который, в свою очередь, определяет максимально допустимый порядок интерполяционного полинома, строящегося для данной функции с заданным шагом интерполирования.

Обратимся вновь к формуле (4) оценки остаточной погрешности интерполяционного полинома. На практике точно определить производную f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) и ее максимальное по модулю значение M_n+1 бывает, как правило, невозможно, так как функция обычно задается лишь в виде таблицы своих значений. Поэтому прибегают к приближенной оценке M_n+1 . Известно, что для функций, m раз непрерывно дифференцируемых, конечные разности порядка по m включительно обладают следующим свойством :

^m y_i = h ^m  f^(m)() , (x_i , x_{i +m}).

На основании этого свойства

.

(13)

Перейдем к рассмотрению названных форм интерполяционных полиномов для функции y=f(x), заданной своими значениями y_i в узлах x_i равномерной сетки с шагом h.