МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский Международный Институт Эконометрики, Информатики, Финансов и Права

И.Н. Мастяева

О.Н. Семенихина

Практикум по курсу

«Численные методы»

Москва 2004

УДК 519.6

ББК 22.193

М-327

И.Н. Мастяева, О.Н. Семенихина. Практиикум по курсу «Численные методы»/ Московский Международный Институт Эконометрики, Информатики, Финансов и Права-2004, 70 с.

© Ирина Николаевна Мастяева, Ольга Николаевна Семенихина,2004.

© Московский Международный Институт Эконометрики, Информатики, Финансов и Права,2004.

О Г Л А В Л Е Н И Е

Программа курса «Численные методы» 4

Вопросы по курсу «Численные методы» 4

Приближенные вычисления 5

Интерполирование 15

Численное дифференцирование 29

Численное интегрирование 34

Приближенное решение алгебраических и

трансцендентных уравнений. Одномерная оптимизация 44

Решение систем линейных уравнений 56

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений 64

Литература 70

Программа курса "Численные методы".

Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешность функции. Обратная задача теории погрешностей.

Тема 2. Приближение функций. Постановка задачи приближения функций. Классы аппроксимирующих функций. Критерии согласия. Погрешность аппроксимации.

Интерполяционные методы приближения функций. Алгебраическое интерполирование. Многочлен Лагранжа и его остаточный член. Оптимизация узлов интерполирования. Многочлены Чебышева. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционные многочлены Ньютона с разделенными разностями. Конечные разности и их свойства. Интерполяционные многочлены Ньютона, Стирлинга и Бесселя. Интерполирование с кратными узлами. Обратное интерполирование. Интерполяция и приближение сплайнами.

Тема 3. Численное дифференцирование. Вывод формул численного дифференцирования. Остаточная погрешность. Вычислительная погрешность при численном дифференцировании и выбор оптимального шага таблицы производных.

Тема 4. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Оценка погрешности квадратурной формулы. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на части. Интегрирование функций с заданной степенью точности. Практическая оценка погрешности. Правило Рунге. Квадратурные формулы Гаусса.

Тема 5. Решение нелинейных уравнений и методы одномерной оптимизации. Отделение корней: правило кольца, теорема Лагранжа, теорема Штурма. Уточнение корней: метод итераций, метод Ньютона, метод хорд. Постановка задачи одномерной оптимизации. Поиск отрезка, содержащего точку экстремума. Дихотомический поиск. Метод золотого сечения. Метод средней точки (бисекции). Метод хорд. Метод ДСК-Пауэлла. Метод кубической аппроксимации. Метод Ньютона-Рафсона.

Тема 6. Численные методы алгебры. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации, условия его сходимости. Оценка погрешности.

Тема 7. Основные понятия численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи. Численные методы решения задачи Коши. Методы Рунге-Кутта. Контроль погрешности на шаге. Понятие о конечноразностных методах. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса.

Вопросы по курсу "Численные методы".

1. Математические характеристики точности приближенных чисел.

2. Общая формула погрешностей.

3. Погрешность арифметических действий.

4. Обратная задача теории погрешностей.

5. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

6. Оценка погрешностей многочлена Лагранжа.

7. Конечные разности и их свойства.

8. Интерполяционныe формулы Ньютона.

9. Интерполяционные формулы Стирлинга и Бесселя.

10. Обратное интерполирование.

11. Численное дифференцирование.

12. Формулы численного дифференцирования, основанные на формулах Ньютона.

13. Формулы численного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга.

14. Численное интегрирование. Формула прямоугольников.

15. Формула трапеций.

16. Формула Симпсона.

17. Интегрирование с заданной степенью точности.

18. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней.

19. Метод половинного деления. Алгоритм.

20. Метод хорд.

21. Метод Ньютона.

22. Метод итераций.

23. Метод Свенна.

24. Метод дихoтомического поиска.

25. Метод золотого сечения.

26. Метод средней точки.

27. Метод секущих (одномерная оптимизация).

28. Метод Ньютона-Рафсона.

29. Метод Гаусса с выбором главного элемента.

30. Метод простой итерации.

31. Метод Эйлера.

32. Метод Эйлера-Коши.

33. Метод Рунге-Кутта.

34. Метод Адамса.