3.5. Дерево. Остов
Деревом называется конечный связный граф без циклов. Из свойств отсутствия циклов и связности следует, что у дерева количество компонент связности p=1 и цикломатическое число =0, т.е. = m - n+1=0,
отсюда следует, что
m=n-1, (3.3)
т. е. число ребер в дереве на единицу меньше числа вершин.
Ниже на рис. 3.7 приведены примеры деревьев.
Пример 3.7
Рис. 3.7
Остов - это подграф (частичный граф), который может быть построен из графа удалением некоторых ребер и который является деревом.
В общем случае для графа можно построить несколько остовов. Для приведенного ниже графа построен один из возможных вариантов остова.
Пример 3.8.
Рис. 3.8
Для несвязного графа рассматриваются отдельные его компоненты. Остов такого графа - совокупность его компонент.
Пример 3.9.
Рис. 3.9
3.5.1. Алгоритм построения произвольного остова. Рассмотрим словесное описание алгоритма:
1. Для каждой компоненты i графа выполняем пункты 2 и 3.
2. Строим частичный подграф, содержащий все ni вершин i-й компоненты и не содержащий ребер (0- граф).
3. Если в текущий частичный граф включены уже ni-1 ребер, то остов для компоненты i построен, иначе выбираем очередное ребро компоненты и пытаемся его включить в текущий граф.
Если в текущем графе это не приводит к образованию цикла, то включаем ребро, иначе - не включаем. Ребро считаем рассмотренным. Выполняем п. 3.
Пример 3.10.
Рис. 3.10
Так как цикл не образовался, то все рёбра с номерами 1, 2, 3, 4 включены в остов. Проверяем по (3.3): m=4, n=5 и 4=5-1.
3.5.2. Алгоритм построения минимального остова. Для взвешенного графа остов с наименьшей суммой весов для вошедших в него рёбер называется минимальным (кратчайшее связное дерево).
Если в сформулированном ранее алгоритме построения обычного остова рассматривать рёбра в порядке возрастания их весов, то будет построен минимальный остов.
Пример 3.11.
Рис.3.11
3.5.3. Алгоритм построения системы независимых циклов графа
1. Строится произвольный остов графа. В исходном графе отмечаются рёбра, не включенные в остов.
2. Выбирается очередное отмеченное ребро и строится цикл, содержащий это ребро и рёбра остова. Рассмотренное ребро отмечается и, если есть ещё не отмеченные рёбра, то выполняется пункт 2, иначе - пункт 3.
3. По формуле Эйлера (3.2) производится проверка числа построенных циклов.
Пример 3.12
Рис
3.12
1)(X2,X4)(X4,X5)(X5,X1)(X1,X3);
2)(X3,X5)(X5,X1)(X1,X2)(X2,X3);
3)(X3,X4)(X4,X5)(X5,X1)(X1,X2)(X2,X3).
3.6. Алгоритм кратчайшей раскраски графа
Раскраска представляет собой маркирование вершин графа таким образом, чтобы у смежных вершин маркеры не совпадали. Вместо красок используются числа 0, 1, 2… Условие оптимальности раскрашивания - использование минимального числа красок . Это число называется хроматическим числом графа.
Граф, который можно представить на плоскости без пересечения его рёбер, называется плоским.
Теорема. Для плоских графов 4.
Отметим, что проблема раскраски - алгоритмически неразрешима.
Пример 3.13. Рассмотрим граф G (рис. 3.13). Убедившись в том, что он – плоский (ребро (x1, x5) может быть проведено вне контура (x1, x2, x3, x5)), произведём его раскраску. Имеем: =3 (краски 0, 1, 2).
Рис. 3.13
В общем случае строим таблицу для определения максимальных внутренне-устойчивых подмножеств множества вершин графа, т. е. множеств несмежных вершин графа. Строки таблицы – внутренне-устoйчивые множества. Столбцы этой таблицы - номера вершин графа, а последний столбец - имя очередного максимального внутренне-устойчивого подмножества.
Несмежные вершины отмечены в таблице единицами. Далее решается задача построения одного кратчайшего покрытия (методом минимального столбца - максимальной строки). Вершины, принадлежащие каждому подмножеству, вошедшему в найденное кратчайшее покрытие, окрашивается одной краской. Если некоторая вершина принадлежит нескольким вошедшим в покрытие подмножествам, то она в одном остаётся, из остальных исключается. Для нашего примера получим три подмножества: Y1,Y2,Y3, определяющие три краски 0, 1, 2 соответственно.
как показано на рис. 3.13, если x1 покрасить краской 0, то все смежные с ней вершины x2, x3, x4, x5 нельзя покрасить 0. Вершины x2, x4 - смежные, для них необходимы две разные краски (1 и 2); аналогично для x3, x4. Однако вершины x2, x3 - не смежные, и их можно покрасить одной краской.
Таким образом, изображенная на рис. 3.13 раскраска - минимальна.