Основные свойства смешанного произведения

1. abc = bca = cab = -(bac) = - (cba) = - (acb)

2. a( b + d)c = abc + adc

3. ab(c + d) = abc + abd

4. a(b)c = ab(c) = (abc)

Пример1.

Найти объем тетраэдра, заданный вершинами

А(1,-2,0),В(2,0,1),C(3,-1,2),D(1, 1, 1).

Решение. Находим вектора 3-х ребер исходящих из вершины А:

b=AВ=(1,2,1), c=AC = (2,1,2), d=AD = (0, 3, 1).

Учитывая, что объемы тетраэдра и параллелепипеда относятся как

1:6, найдем объем параллелепипеда по формуле (7)

1 2 1

bcd = 2 1 2 = - 3, то объем тетраэдра V = 0.5

0 3 1

Пример 2. Даны вершины тетраэдра A(0, -2, 5), B(6, 6, 0), C(3, -3, 6), D(2, -1, 3).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Объем тетраэдра ABCD найдем также, как в примере 1: V_тет = 7.5

Искомую высоту h из вершины С на основание АВD определим из формулы

V_тет = S h / 3 (8),

где S –площадь основания ABD тетраэдра, определяемая по формуле

S = 0.5[ ab ], где а = ( -2, -1, 2), b = (4, 7, -3).

Так как [a x b] – площадь параллелограмма, то площадь треугольника равна

S = 0.5  [а b]  =

и подставляя полученные значения в формулу (8), находим, что искомая высота h=3.