Лекция 3 Конечные автоматы Недетерминированные конечные автоматы (распознаватели)

Определение 3.1.

Недетерминированный конечный автомат (распознаватель), или НКА, – это пятерка М = (Q, , , q₀, F), где Q, , q₀, F определяются так же, как и для ДКА, а функция переходов  выглядит так:

: Q  (  {})  2^Q.

Пример 3.2.

q₀ q₁ q₂

Заметим, что здесь

(q0, a) = {q1}, (q0, b) = , (q1, a) = {q2},

(q1, b) = {q0, q2}, (q2, a) = , (q2, b) = ,

значит, это НКА.

Определение 3.3.

Для НКА обобщенная функция переходов * определяется следующим образом: для любых q_i, q_j  Q и   ^* ^*(q_i,) содержит q_j тогда и только тогда, когда в диаграмме переходов этого НКА существует путь из q_i в q_j, помеченный .

Определение 3.4.

Язык, допускаемый НКА М, определяется так:

L(M) = { |   ^* и ^*(q₀,)  F ¹ }.

Пример 3.5.

Рассмотрим НКА, заданный диаграммой:

q₀ a q₁  q₂



Вычислим *(q₁, а) и *(q₂, ).

Рассмотрим сначала все пути из q₁, соответствующие прочитанному символу а: {a(q₁), a(q₂), a(q₀)}. В круглых скобках указаны вершины, в которых оканчиваются эти пути. Тогда, по определению,

*(q₁, а) = {q₀, q₁, q₂}.

Аналогично

*(q₂,  ) = {q₀, q₂}.

Заметим, что для любого q: q  *(q, ).

От НКА М, содержащего -переходы, можно перейти к М' без -переходов так, что L(M) = L(M'). Для этого нужно для каждой пары (q_i, а), q_i  Q, a  , определить множество всех путей вида

 =   ...  а  ... ,

выходящих из вершины q_i, и сформировать множество всех вершин q_j¹, ..., q_j^k, которыми оканчиваются эти пути.

Вводим новую функцию переходов ' для НКА М':

'(q_i, а) = {q_j¹, ..., q_j^k},

и полагаем

М' = (Q, , ', q₀, F).

Нетрудно видеть, что при этом

L(M) = L(M').

Это дает нам возможность в дальнейшем, при рассмотрении НКА как средства задания языков, считать, что НКА не содержит -переходов, т. е. : Q х   2^Q.

Пример 3.6.

Рассмотрим НКА М, заданный диаграммой D_М:

q₀ a,  q₁ b Здесь Q = {q₀, q₁, q₂, q₃},

 ={a, b}, F = {q₁}.

a  b b a

q₂ b q₃

b a

Построим автомат (недетерминированный) М' = (Q, , q₀, ', F') без -переходов и такой, что L(M) = L(M'). Берем начальное состояние q₀ и вычисляем все состояния, в которые М переходит из q₀ по символу а и по символу b:

_­q₀a  q₁, _­q₀b q₃,

_­q₀a  q₃, _­q₀b  q₂,

_­q₀a  q₀, _­q₀b  q₃,

_­q_0­a  q₂, _­q₀b  q₁,

т.е. '(q₀, a) = {q₀, q₁, q₂, q₃}

'(q₀, b) = {q₁, q₂, q₃}.

Теперь то же самое сделаем для q₁:

_­q₁a  q₃, _­q₁b q₁,

т.е. '(q₁, a) = {q₃}, '(q₁, b) = {q₁}.

Далее для q₂ :

_­q₂a  q₀, _­q₂b q₃,

_­q₂a  q₂, _­q₂b  q₂,

_­q₂a q₁,

т.е. '(q₂, a) = {q₀, q₁, q₂}, '(q₂, b) = {q₂, q₃}.

Для q₃ получаем:

_­q₃a  q₃, _­q₃b q₁,

т.е. '(q₃, a) = {q₃}, '(q₃, b) = {q₁}.

Наконец заметим, что q₁ (q₀, ), т.е.  допускается автоматом М, следовательно, q₀ должно быть помещено в F'.

Таким образом, диаграмма D_М' автомата М' будет выглядеть следующим образом:

a

q₀ a, b q₁ b

b, a a b a

a a,b

q₂ b q₃

b, a a

Нетрудно видеть, что если некоторая строка   L(M), то   L(M'), и наоборот, т. е. L(M) = L(M').