ГГрамматики

рамматика – это один из точных способов задания языка. Грамматические правила позволяют определять, является ли та или иная языковая конструкция правильной с точки зрения данного языка, т.е. принадлежит ли она этому языку или нет.

Пример 1.4.

Рассмотрим фрагмент грамматики (обозначим его G_A) языка программирования, описывающий все арифметические выражения, которые можно построить, используя идентификаторы a, b, c.

<выражение> : : = <терм> | <выражение> + <терм> | <выражение> – <терм>

<терм> : : = <множитель> | <терм> ´ <множитель> | <терм>/<множитель>

<множитель> : : = a | b | c | (<выражение>)

Эту стандартную запись в форме Бэкуса-Наура можно упростить, введя буквенные обозначения для входящих в грамматические правила понятий:

<выражение> = Е

<терм> = Т

<множитель> = F.

Тогда грамматика G_A будет выглядеть следующим образом:

E ® T | E + T | E – T

T ® F | T ´ F | T / F

F ® a | b | c | (Е).

Определение 1.5.

Грамматикой G называется следующая упорядоченная четверка объектов G = (N, T, S, P), где

N – конечное множество нетерминальных символов, называемых переменными (или нетерминалами);

T – конечное множество терминальных символов, называемых терминалами;

S – начальный символ, S Î N;

P – конечное множество правил вывода, называемых продукциями.

Здесь и далее предполагается, что множества N и Т непустые и не пересекаются.

Продукции – это основной механизм грамматики, с помощью которого можно преобразовать одну строку символов в другую и таким образом порождать язык, определяемый данной грамматикой.

Каждая продукция р Î Р имеет вид a ® b, где

a Î (N È T)⁺, b Î (N È T)*.

Результатом применения продукции р : a ® b к строке g = jay является строка d = jby, полученная из g подстановкой вместо подстроки a (левой части продукции) строки b (правой части продукции).

Это преобразование записывается так: g d, или g d, когда просто хотят сказать, что d получается из g применением некоторой продукции из грамматики G. В этом случае говорят, что строка d выводится из строки g (в грамматике G) применением продукции p.

Если применять продукции p₁, p₂, ..., p_n-1 грамматики G последовательно к получающимся строкам, то это можно записать в виде:

a₁ a₂ a₃ ... a_n.

В этом случае говорят, что строка a_n выводится из строки a₁ (в грамматике G) и пишут a₁ a_n. Символ * указывает здесь любое конечное число шагов, включая 0, т.е. случай a a. Если же надо указать, что, по крайней мере, одна продукция в действительности должна быть применена, то пишут a b.

Грамматика определяет тот язык, строки которого могут быть выведены из некоторой фиксированной строки (начального элемента) применением продукций этой грамматики.

Определение 1.6.

Пусть G = (N, T, S, P) – грамматика. Тогда множество

L(G) = {a | aÎ T* и S a}

называется языком, порождаемым грамматикой G.

Если a Î L(G), то любая последовательность вида

S a₁ a₂ a₃ ... a_n a

называется выводом строки a в грамматике G; при этом, если a Î T*, то a называется сентенцией (или словом), а a_i – сентенциальной формой (в грамматике G).

Если известно, в какой грамматике G рассматривается вывод a b, то можно не писать символ G.

Пример 1.7.

Рассмотрим грамматику

G = ({S}, {a, b}, S, P),

где Р состоит из двух продукций:

S ® aSb ,

S ® e.

Тогда, очевидно, в G можно построить вывод:

S Þ aSb Þ aaSbb Þ aabb,

т.е. S a²b².

Следовательно, строка a²b² Î L(G).

Как получить явное описание этого языка? К сожалению, это не всегда возможно. В данном случае можно показать, что L(G) = {aⁿbⁿ | n ³ 0}. Докажем это индукцией. В качестве параметра n индукции возьмем длину вывода, т.е. число применений продукций в последовательности SÞa₁Þ...Þa_n.. Покажем, что получающиеся при этом сентенциальные формы a_n имеют вид aⁿSbⁿ или a ^{n – 1}b ^{n – 1}, n ³1.

Пусть n = 1, тогда либо a₁ = aSb, либо a₁ = e, что составляет базу индукции.

Допустим, что наше утверждение верно для всех n £ k. Пусть теперь n = k + 1, k ³ 0. Рассмотрим вывод длины k + 1:

S Þ a₁ Þ ... Þ a_k Þ a_k+1.

По нашему предположению, a_k = a^kSb^k, так как к строке a^k–1b^k–1 продукции применить уже нельзя. На (k+1)-м шаге возможно применение одной из двух продукций грамматики G. Если применить первую, то получим строку a^k+1Sb^k+1, а если вторую, то строку a^kb^k, что согласуется с предположением индукции. Таким образом, наше утверждение верно, и ничего другого, кроме строк вида aⁿSbⁿ или aⁿbⁿ, из S получить невозможно. В то же время легко заметить, что любая строка вида aⁿbⁿ для n ³ 0 выводима из S.

Может случиться, что две разные грамматики порождают один и тот же язык. Так, если в грамматику G из примера 1.7. добавить продукцию S ® A, то это не изменит язык (хотя и изменит множество сентенциальных форм).

Две грамматики G₁ и G₂ называются эквивалентными, если они порождают один и тот же язык, т.е. если L(G₁) = L(G₂).