Лекция 6 Регулярные выражения и регулярные грамматики Регулярные грамматики

Определение 6.1.

Грамматика G = (N, T, S, P) называется праволинейной, если все продукции имеют вид

A   B

A   , где А, В  N,   T^*.

Аналогично грамматика называется леволинейной, если все продукции имеют вид

A  B 

A  .

Грамматика называется регулярной, если она или праволинейная, или леволинейная.

Язык назовем регулярным, если он порождается некоторой регулярной грамматикой.

Пример 6.2.

G₁ = ({S}, {a, b}, S, P)

S  abSa

Пример 6.3.

G = ({S, A, B}, {a, b}, S, P)

S  A

A  aB

B  Ab

Грамматика G – линейная, но не регулярная.

Заметим, что при выводе сентенциальных форм в праволинейной грамматике эти формы будут иметь вид ab . . . cD.

Пусть к этой сентенциальной форме применяется продукция

D  dE,

т.е. имеем в G:

ab ... cD  ab ... cd E.

Этому шагу в выводе можно сопоставить такт работы НКА М, который из состояния D, прочитав символ d, переходит в состояние Е:

d

D E

Тогда, очевидно, выводу в G соответствует путь в диаграмме переходов автомата М, и наоборот.

Теорема 6.4.

Пусть G = (N, T, S, P) – праволинейная грамматика. Тогда L(G) – автоматный язык.

Доказательство.

Положим N = {А₀, А₁, ...}, S = А₀ и допустим, что продукция имеет вид

А₀  ₁А_i ,

А_i  ₂А_{j ,}

. . . . . . . . . .

А_n  _l. _.

Если   L(G), тогда, в силу вида продукций G, вывод должен иметь вид:

А₀  ₁А_i  ₁₂А_j * ₁₂ ... _k А_n ₁₂ ... _k_l = . (6.5)

Соответствующий автомат будет воспроизводить вывод, поглощая по очереди каждую _i.

Начальное состояние автомата – А₀, а для каждой переменной А_i он будет иметь нефинальное состояние, помеченное буквой А_i .

Для каждой продукции вида

А_i  a₁a₂ ... a_mА_j

автомат будет иметь переходы, связывающие вершины А_i и А_j , т.е. функция переходов  будет определена так, что

*( А_i , а₁а₂ . . . а_m) = А_j.

Для каждой продукции вида

А_i  a₁a₂ ... a_m

соответствующий переход

*(А_i , а₁а₂ . . . а_m) = А_f ,

где А_f – финальное состояние.

Промежуточные состояния могут быть любыми. Целиком автомат состоит из таких отдельных частей, т.е.  определена указанными соотношениями.

Допустим, что   L(G) и (6.5) имеет место. Тогда, по построению НКА, в диаграмме переходов есть путь из А₀ в А_i , помеченный ₁, путь из А_i в А_j , помеченный ₂ и т.д., откуда ясно, что

А_f  *(А₀, ),

т.е.  допускается автоматом М.

Обратно, пусть  допустима М. В силу построения М, допустить  – это пройти через последовательность состояний А₀, А_i, ... до А_f, используя пути, помеченные ₁, ₂, ... . Таким образом,  должна иметь вид

 = ₁₂ . . . _к_l,

следовательно, возможен вывод

А₀  ₁А_i  ₁₂А_j * ₁₂ ... _k А_n ₁₂ ... _k_l  L(G).

Пример 6.6.

Построить автомат, допускающий язык, порожденный грамматикой

А₀  аА₁

А₁ аbА₀b

a b

А₀ А₁ А_f

b a

Теорема 6.7.

Если L – автоматный язык в алфавите , тогда существует праволинейная грамматика G = (N, T, S, P) такая, что L = L(G).

Доказательство.

Пусть М – ДКА, допускающий L,

M = (Q, , , q₀, F).

Предположим, что Q = {q₀, q₁, . . ., q_n},  = {a₁, a₂, . . ., a_m}. Построим праволинейную грамматику G = (N, , S, P), где N = {q₀, q₁, . . ., q_n}, S = q₀.

Для каждого перехода в ДКА М

(q_i, a_j) = q_k

мы помещаем в Р продукцию q_i  a_jq_k.

В дополнение к этому, если q_k  F, то мы добавляем в Р еще продукцию q_k  .

Покажем вначале, что так определенная грамматика G порождает любую строку из L. Пусть   L и  = a_i a_j . . . a_ka_{l .}

Для M принять  означает совершить переходы:

(q₀, a_i) = q_p

(q_p, a_j) = q_r

. . .

(q_s, a_k) = q_t

(q_t, a_l) = q_f, q_f  F.

По построению, грамматика G будет иметь одну продукцию (как минимум) для каждого из этих соотношений. Поэтому можно построить в G вывод:

q₀  a_iq_p  a_ia_jq_r a_ia_j ... a_kq _t  a_ia_j ... a_ka_lq_f  a_ia_j ... a_ka_l, (6.8)

следовательно,   L(G).

Обратно, если   L(G), то ее вывод имеет вид (6.8), но это влечет соотношение *(q₀, a_ia_j ... a_ka_l) = q_f, т.е.   L(M).

Пример 6.9.

Построить праволинейную грамматику для L(aab*a).

По выражению aab*a построим соответствующий НКА M:

a a a

q₀ q₁ q₂ q_f

b

В данном случае НКА совпадает с ДКА. Как показано выше, имеем соответствие между М и искомой грамматикой G:

M G

(q₀, a) = q₁; q₀  aq₁

(q₁, a) = q₂; q₁  aq₂

(q₂, b) = q₂; q₂  bq₂

(q₂, a) = q_f, q_f  F; q₂  aq_f, q_f  .

Тогда, к примеру, строка aaba будет иметь вывод в G:

q₀  aq₁  aaq₂  aabq₂  aabaq_f  aaba.

Аналогично нетрудно доказать следующую теорему:

Теорема 6.10.

Язык L - автоматный тогда и только тогда, когда существует леволинейная грамматика G такая, что L = L(G).

Объединяя, получаем:

Теорема 6.11.

Язык L - автоматный тогда и только тогда, когда существует регулярная грамматика G такая, что L = L(G).

Таким образом, любой автоматный язык является регулярным и наоборот.