1.4. Доказательства достоверности открытия

Предложив общие положения о триединстве особь–вид–ценоз, обратимся к математической стороне, основу которой составляют работы академиков Колмогорова, Хинчина, Гнеденко, которые использованы для объяснения фундаментальности Н-распределения [43–47]. Со времён Чебышева (1866) общие задачи о предельных законах для последовательности независимых случайных величин х₁, х₂, …, х_k, … сводились к нахождению наиболее общих условий, которые следует наложить на величины х_k, чтобы выполнялись закон больших чисел и центральная предельная теорема. В этом случае величины х_k имеют конечные математические ожидания и конечные дисперсии.

Наиболее существенные результаты в развитии этих утверждений получены А. А. Марковым и А. М. Ляпуновым. Линдеберг (1922) указал более общие, чем у Ляпунова, достаточные условия для применимости закона больших чисел. Классическая проблематика получила завершение, когда А. Н. Колмогоров (1926) дал необходимые и достаточные условия для применимости этого закона, а В. Феллер (1935) показал, что условия Линдеберга являются не только достаточными, но и необходимыми.

Феллер изложение истории начинает с напоминания, что основы общей теории устойчивых распределений заложены П. Леви, который нашёл преобразование Фурье всех строго устойчивых распределений (1924). Понятие безграничной делимости восходит к Б. де Финетти (1929). Более простой новый подход к теории устойчивых распределений стал возможным после введения этого понятия. Преобразования Фурье безгранично делимых распределений с конечными дисперсиями были найдены Колмогоровым (1932). В 1934 г. П. Леви нашёл преобразования Фурье произвольно безгранично делимых распределений, сформулировав новый подход (1937). Им же безгранично делимые распределения изучались с точки зрения случайных процессов. Все последующие исследования происходили под сильным влиянием фундаментальных работ П. Леви. Первые чисто аналитические выводы общей формулы были даны в 1937 г. независимо Феллером и Хинчиным. Интерес к теории был стимулирован замечательными исследованиями А. Дёблина (1939), посвящёнными областям притяжения.

Классическая центральная предельная теорема получила развитие в новой постановке, когда от случайных величин х_k уже не требовалось существования ни дисперсий, ни математического ожидания.

,

где B_n, A_n – постоянные.

Класс предельных законов для сумм независимых случайных величин, сходящихся к нормальному закону Гаусса, у́же, чем класс безгранично делимых. Полное решение было получено Б. В. Гнеденко (1937) для математического ожидания и дисперсии величины х:

где F(x) функция распределения случайной величины х, т. е. F(x)=P{x<x}.

Все предельные законы совпадают с так называемыми устойчивыми. Распределение называется устойчивым, если при любых а₁>0, b₁, а₂>0, b₂ найдутся такие a>0 и b, что при всех х

F(a₁x+b₁)F(a₂x+b₂)=F(ax+b)                                                                           

осуществляется n-кратная свёртка, в смысле композиции Fⁿ* функций распределения F, любой фиксированной функции распределения F(x). Для того, чтобы функция f(t) была характеристической функцией некоторого безгранично делимого распределения, необходимо и достаточно, чтобы её логарифм мог быть представлен в виде

logf(t)=iγt+[{e^itu–1–itu/(1+u²)}(1+u²)/2]·dG(u)},                                             

где γ – действительная постоянная. Если закон F(x) имеет конечную дисперсию, то γ имеет смысл математического ожидания. Представленный logf(t) единствен.

Чтобы функция распределения F(x) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции был представлен формулой (натуральные логарифмы характеристических функций устойчивых распределений, и только они, допускают представление):

logf(t)=iγt–с|t|^{1+iβ(t/|t|)ω(t,)},                                                                     

где , β, γ, с – постоянные;  – характеристический показатель устойчивого закона; γ – любое действительное число; –1 ≤ β ≤ 1; 0 <  ≤ 2, с > 0. Именно это значение характеристического показателя экспериментально получено ценологическими исследованиями и используется менеджментом.

Можно отметить существенные свойства устойчивых распределений:

1. Все устойчивые законы одновершинны.

2. Все устойчивые законы распределения и только они имеют области притяжения и, за исключением несобственных, непрерывны и имеют непрерывные производные всех порядков.

3. Только нормальный закон среди всех устойчивых законов имеет конечную дисперсию. При 1<<2 устойчивые законы имеют математическое ожидание, при 0≤≤1 – не имеют ни дисперсии, ни математического ожидания.

Используем изложенный подход для построения математической модели явления инвариантности структуры множества технических изделий, образующих техноценозы. Воспользуемся для композиции двумя основными элементарными типами случайных функций:

1) нормальным, в котором характеристическая функция f_x(t) случайной величины даётся формулой

;

2)  пуассоновским, в котором характеристическая функция f_x(t) имеет вид

log f_λ(t) = λc(e^iht – 1).

Тогда может быть получена функция, которая является при любом натуральном n суммой ζ_λ = μ₁ + μ₂ +…+ μ_n одинаково распределённых независимых слагаемых, что собственно и является основой гиперболического Н-распределения. Другими словами, составив функции, соединяющие типы изменения нормальный и пуассоновский, допустив при этом скачки не только фиксированных размеров h, но и самых разнообразных размеров, и приняв при этом, что на промежутке (λ; λ + dλ) скачок происходит с вероятностью cdλ, а функция распределения размеров скачков есть P(h < u) = F(u), то, комбинируя Гаусса и Пуассона, по Финетти, приходим к формуле

,

не дающей общего решения (для случая с конечной дисперсией оно было найдено Колмогоровым), но истолкованной теоремой, доказанной Б. В. Гнеденко (1939) и В. Дёблиным (W. Doeblin, 1940).

Пуассоновский тип возникает в случае, когда функция от λ с вероятностью единица является неубывающей ступенчатой функцией, принимающей только кратные шагу "h" значения (например, по шкале трансформаторов 100, 160, 250 кВА, …, 1000, 1600, 2500 МВА. Так как большие по абсолютным размерам скачки происходить с бесконечной плотностью не могут, оказалось возможным ввести две функции М(u) и N(u), имеющие смысл: на промежутке (λ, λ + Δλ) скачки h < u < 0 происходят с вероятностью M(u)dλ, а скачок h > u > 0 – с вероятностью N(u)dλ. Заметим, что вероятность (по схеме Бернулли) "вынуть" один из двух двигателей – воздуходувки 30000 кВт НЛМК, как и двигателя ПН мощностью Р = 0,32 кВт (каждый на комбинате в одном экземпляре) такая же.

В заключение приведём теорему Гнеденко–Дёблина: для сходимости распределений нормированных сумм одинаково распределённых независимых случайных величин к устойчивым распределениям, отличным от нормального, необходимо и достаточно, чтобы при х   имелась асимптотика негауссового распределения, которая совпадает, с точностью до медленно меняющейся функции, с Н-распределением

.

Здесь n(х) – частота;  – характеристический показатель Н-рас-пределения; параметр С обеспечивает распределению нормировку ∑n(x)=N, где N – объём выборки (текст).

Обратим внимание на фундаментальность приведённых математических построений и совпадающий конечный результат с эмпирически полученной нами формулой [22, 24, 47, 48].

В логарифмических координатах распределение есть распределение Ципфа и имеет вид прямой, наклон которой к осям координат определяется величиной : тангенс угла между этой прямой и осью абсцисс, т. е. lnn(x)/lnx равен 1+, так что этот угол уменьшается с уменьшением . Чем меньше , тем длиннее хвост данного распределения и тем более оно отличается от распределения Гаусса и ему подобных гауссовых распределений.

Исследование ценоза как целостности предполагает, как указывалось, его системное описание словесно и иерархической практически разумной системой показателей (что обязательно для выделения ценоза как такового), а затем выполнение структурного ценологического анализа, полагая, что ценологические представления есть новая ступень познания, гносеологически опирающаяся на третью научную картину мира [44, 45]. Необходимость формализованного описания ценоза (и реализации модели, как это сделано для технической реальности) есть первое отличие моего подхода, от подходов и законов Парето, Лотки, Юла, Уиллиса, Бредфорда, Ципфа, Мандельброта; от построений Арапова, Шрейдера, Крылова, Орлова, Чайковского, Хайтуна [42, 46, 47]. Это должно быть сделано до идентификации элементов-особей. Идентификация же предполагает возможность классифицировать особи: 1) по видовым признакам (как у Линнея), дискретизируя тем самым элементы-особи, или 2) по параметру, непрерывным рядом на отрезке, характеризующим все особи (отметим факт: рост людей, расход горючего на 100 км – гауссовы; потребление ресурса предприятиями одной отрасли или регионами в целом по России – негауссово и математически определяется бесконечно делимыми гиперболичес-кими H-распределениями, модельно отражая явление инвариантности структуры ценозов).

Говоря о показателях, выделяющих ценоз (вне зависимости от их вербального или формализованного представления), следует иметь в виду мною сформулированное: 1) ценоз не может быть адекватно описан системой показателей, любая система – не чёткая и не полная, увеличение количества показателей и кажущееся повышение точности (достоверности) каждого не приближает или мало приближает к самомý акту выделения ценоза; 2) два ценоза, описанных одной системой показателей, совпадающих в пределах точности, принятой для данного класса измерений, могут различаться по существу (другими характеристиками, параметрами, представлениями) сколь угодно сильно; 3) ценологическое время – время феноменологическое; оно необратимо; ценоз, даже описываемый не изменившимися качественно и количественно показателями, через время Δt уже иной; но это время t<Δt не измеряется малыми промежутками (для одного ценоза – секундами, для другого – годами), а сравнимо (относительно порядка) со временем жизни особей тех видов, что группируются вокруг пойнтер-точки R  (о ней – далее); 4) ценологическая фрактальность проявляется вложенностью ценозов такой, что она иерархически ограничена 5–7 уровнями (в отличие от бесконечности Мандельброта, представленной, например, кривой Коха); 5) ценологическое пространство неоднородно, нужномерно, в отличие от конечного евклидова или неевклидовых геометрий. Изложенное в сжатом виде и есть третья научная ценологическая картина мира.

Для случая, когда особь выделяема и различаема по видовой принадлежности, основой исследования явления инвариантности структуры ценозов служат математические модели структуры, опирающиеся на гиперболические H-распределения в видовой и ранговидовой формах. В этом случае структурное описание основано на понятии эквивалентности: ценоз образован элементами-особями, каждые два из которых неотличимы, но могут быть идентифицироваваны поштучно, т. е. иметь номер-паспорт, оставаясь одного вида или будучи различимы (разных видов):

u_is_j≡u_ks_j; i≠k, s_j≠s_m,                                                               (1)