5) Понятие работы и мощности. Работа переменной силы.

Работа (А) – мера измерения механической энергии бA=F*dR, dR – перемещение тела, F – сила.

Мощность (N) – скалярное произведение силы приложенной к телу на скорость тела.N=dA/dt.

Работа переменной силы –

рассмотрим движение материальной точки вдоль оси  OX под действием переменной силы  f , зависящей от положения точки  x на оси, т.e. силы, являющейся функцией  x. Тогда работа  A, необходимая для перемещения материальной точки из позиции  x = a  в позицию  x = b  вычисляется по формуле:

Консервативные силы – работа которых не зависит от формы пути между двумя точками (при перемещении тела между ними). Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными силами. К ним относятся, прежде всего, так называемые диссипативные силы, например силы трения, возникающие при скольжении одного тела относительно другого.

6) Основные понятия динамики вращательного движения. Момент силы и импульса.

Введем понятие абсолютно твердого тела. Будем рассматривать абсолютно твердое тело как систему жестко связанных материальных точек. При вращательном движении абсолютно твердого тела все его точки описывают окружности лежащие в плоскостях перпендикулярно оси Оz.

Момент инерции материальной точки: J=m*r² m – масса, r – расстояние от точки до оси.

Момент силы относительно точки и неподвижной оси: M_z=F*R=J_z*ε, F – сила, R – радиус, ε – угловое ускорение.

Момент импульса относительно точки и неподвижной оси: L_z=J*ω, J – момент инерции, ω – угловая скорость.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси Оz равен моменту инерции тела относительно оси Оz₀ проходящей через центр масс тела параллельно оси Оz + произведение массы тела на квадрат расстояния между Оz и Оz₀.

Пусть Оz₀ – ось параллельная оси Оz и проходит через центр масс тела. Расстояние между осями Оz и Оz₀ = d. Оси Оz и Оz₀ перпендикулярны рисунку.

J_z =∑(от i = 1 до n)m_i*R²_i = m_i*R_i*R_i. Из рисунка видно, что R_i = d + R_i0, где R_i ,R_i0 – расстояния от точки m_i до оси Оz, тогда: J_z =∑(от i = 1 до n)m_i *( d + R_i0)² , где =∑(от i = 1 до n)m_i * R_i0 = J_z0 – момент инерции тела относительно оси Оz₀ . Последнее слагаемое ∑(от i = 1 до n)m_i * d* R_i0 = d*∑(от i = 1 до n)m_i *R_i0 = 0 – определение центра масс J_z = M*d² + J_z0 .

7) Потенциальная и кинетическая энергия

К механической энергии относят два вида энергии: Кинетическая и Потенциальная.

При поступательном движении кинетическая эн. Тела массой m, движущ. Тела v равна:

K=(mv²)/2.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы

Kc-мы=∑K_i=∑(m_iv_i²)/2 ( от i=1 До n) n-число тел.

Изменение кинетической энергии системы равно работе сил, действ-х на эту систему мсо стороны др. тел или полей.

dK=∂A

Потенциальная энергия  — скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил.

Энергия. Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения и изменения механической энергии.

Кинетическая энергия мех. системы - это энергия мех. движения этой системы. Работа dA силы Fна пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до V , идёт на увеличение кинетической энергии dT тела, т.е. dA = dT. Используя 2 закон Ньютона и умножая обе части равенства на перемещение dr , получим

Потенциальная энергия мех. энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением, и характером сил взаимодействия межу ними. Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr .Работа совершается за счёт уменьшения потенциальной энергии.

Полная мех. энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии. E=T+П.

Рассмотрим взаимодействие двух частиц. Пусть потенциальная энергия их взаимодействия определяется функцией U(x), где x — расстояние между частицами. Для определённости положим, что частицы отталкиваются с силой F. Под действием этой силы расстояние между частицами изменится на dx, следовательно будет совершена работа  A = Fdx. При этом, поскольку частицы отодвинулись, то потенциальная энергия их взаимодействия U изменилась на величину  dU (уменьшилась). Отсюда получаем

dU = Fdx

или

(2)

Таким образом, в случае потенциальных сил, сила F есть производная от потенциальной энергии U по параметру x с обратным знаком.

8) Колебания. Дифференц. Ур-ия колебаний(гармонич, незатух, затух, вынужд) и их решения

Колебания-процессы, характериз-ся той или иной степенью повторяемости во времени. Они могут быть мех-ми, электромагн. И др. Колебания периодические, если они повторяются через определенные промежутки времени.

Минимальный из них это Период T. За период совершается одно полное колебание. Число полных колебаний в ед. вр. Назыв. Частотой колебаний.

f=1/T

ω=2 это круговая или циклическая частота

Период: T=

При периодический колебаниях величины x за время t выполняется след. Соотношение

X=(t)=x(t+T)

Гармоническим колебательным движением называется периодич. Движ., при котором смещение точки от положения равновесия в зависимости от времени t измен. По закону синуса

Х=Аsin(ω₀t+α) (1) А-амплитуда колебания, ω_0-круговая частота гарм. Колеб. (ω₀t+α) -фаза колебания. Α-нач фаза в момент вр t,

Скорость v и ускорение (а) при гар. Кол. Измен-ся по закону

V==ẋ=A ω₀cos (ω₀t+α)

a==ẍ=-A₀²sin(ω₀t+α)

получаем а=- ω²₀х

отсюда следует что при гар. Кол. Ускорение прямопропорц-но смещению точки от положения равновесия и всегда направлено противопол. Ему

Из этих уравнений получаем дифференциальное уравнение гарм.кол

ẍ+ ₀²=0 а уравнение (1) которое выше, является его решением

сила гар. Кол F=-m ω²₀x.

m ω²₀=k –коэффицент возвр силы. Н численно равен возвр силе, вызыв смещение х на ед.

F=-kx

Круговая частота в гар.кол : 0=

Период гар.кол: T₀=2

При гар.кол полная мех.энергия складывается из кин. И пот. Энергии E = +

Затухающие колебания

Всякое колебание мат.точки, не поддерж. Извне, затухает из-за наличия сил сопротивления.

Амплитуда уменьш-ся.

Диф-ное уравнение:

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — ускорение горизонтального движения грузика.

Решение его: х=А₀е^-βtsin(ωt+α)

Где А₀е^-βt-амплитуда. е- экспанента β-коэфф-т затухания α-нач фаза. ω-циклич частота затух.

Если β=0 уравнение выше переходит в уравнение незатухающих колебаний.

Β=; ω=

Период затухающих кол.: Т=2π/ω

Логарифмический декремент затухания: ∂=ln(A_t/A_t+T)

Собственные (или свободные) — колебания при отсутствии внешних сил, когда система, после первоначального воздействия внешней силы, предоставляется самой себе (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие)

Если ω меньше или равна 0 то колебаний нет.система совершает апериодические колебания. Приближ к равновесию.

Вынужденные кол. — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Сила в этом случае

F=-kx-rẋ+F₀sinΏt

По 2-му зак Ньютона

ẍ+₀sinΏt/m это дифференциальное уравнение вынужденных коллебаний

Решение его: х=А₀е^-βtsin(ωt+α)+Asin(

Вынужденные складываются из затух и незатух. Происходящих с частотой Ώ.

Установившиеся вынужд кол. Х= Аsin(Ώt+Ѱ)

Амплитуда вынуж. Кол. А=F₀/m*(sqrt[(ω₀²-Ώ²)²+4β²Ώ²])

Где ω₀=sqrt(k/m) частота собст колеб, β=r/2m-коэфф. Затух