Выбор времени счета при радиометрических измерениях

Цель работы: освоение методики статистической обработки результатов радиометрических измерений; выбор оптимального времени измерения скорости счета импульсов от источника излучения при наличии радиационного фона.

1. Основные теоретические положения

Распад радиоактивных ядер имеет статистический характер и описывается распределением Пуассона, предельным случаем которого, при достаточно большом числе измерений, является нормальное распределение – распределение Гаусса. Поэтому оценивать стабильность работы счетной аппаратуры (прибора), регистрирующей ионизирующие излучения, можно путем сравнения распределения зарегистрированного числа импульсов с распределением Гаусса.

Мерой отклонения распределения зарегистрированных радиометром числа импульсов от распределения Гаусса, т. е. показателем стабильности работы прибора является критерий X ², вычисляемый по формуле

, (1.1)

где k_i – число импульсов, зарегистрированных при i-м измерении за время t; – среднее число импульсов, зарегистрированных за время t; n – число измерений.

Так как при измерении интенсивности ионизирующего излучения и его дозиметрии существуют случайные ошибки, обусловленные наряду со статическим характером ядерных процессов целым рядом случайных внешних воздействий на измеряемую величину, то и число импульсов, регистрируемых счетчиком от источника излучения, является случайной величиной.

Из теории ошибок следует, что истинное значение Х_ист некоторой случайной величины Х, распределенной по закону р(х), с вероятностью

(1.2)

находится в интервале ,

где – среднее значение величины Х; – полуширина доверительного интервала.

Интервал называют доверительным, вероятность Р попадания в этот интервал истинного значения Х_ист измеряемой величины – доверительной вероятностью.

Полуширина доверительного интервала

(1.3)

где _n,P – коэффициент Стьюдента, зависящий от заданной доверительной вероятности P и числа измерений n (значения _n,P приведены в табл. 1.1); – средняя квадратичная ошибка,

(1.4)

Таблица 1.1

Коэффициенты Стьюдента n,p

n	n,0,500	n,0,683	n,0,900	n,0,950	n,0,980	n,0,990
2	1,00	1,80	6,31	12,71	31,80	63,70
3	0,82	1,32	2,92	4,30	6,96	9,42
4	0,77	1,20	2,35	3,18	4,54	5,84
5	0,74	1,15	2,13	2,78	3,75	4,60
6	0,74	1,11	2,02	2,57	3,36	4,03
7	0,72	1,09	1,94	2,46	3,14	3,71
8	0,71	1,08	1,90	2,36	3,00	3,50
9	0,71	1,07	1,86	2,31	2,90	3,36
10	0,70	1,06	1,83	2,26	2,82	3,25
	0,67	1,00	1,65	1,96	2,30	2,59

Для доверительной вероятности Р = 68% уже при n  7 полуширина доверительного интервала . Чем больше n, тем точнее это равенство. Отношение полуширины доверительного интервала к среднему значению измеряемой величины называют относительной ошибкой этой величины. Ее выражают в относительных единицах:

(1.5)

или в процентах:

. (1.5а)

При относительную ошибку называют стандартной или средней квадратичной.

Если измеряемая величина Y является функцией нескольких случайных переменных X₁, X₂, ..., X_n, не зависимых друг от друга, т. е. Y = f(X₁, X₂, ..., X_n), то средняя квадратичная ошибка

. (1.6)

Из формулы (1.6) следует, что для суммы или разности двух измеряемых величин Х₁ и Х₂ средняя квадратичная ошибка

(1.7)

Относительная стандартная ошибка в этом случае

(1.8)

При различных радиометрических и дозиметрических измерениях часто экспериментально определяют скорость счета импульсов, возникающих в ионизационных, сцинтилляционных и других детекторах излучения под воздействием регистрируемых ими частиц. Скорость счета импульсов

, (1.9)

где N – число импульсов, зарегистрированных счетчиком за время t.

Воспользовавшись формулами (1.6) и (1.9), а также учитывая, что , получим выражение для средней квадратичной ошибки при определении скорости счета импульсов:

. (1.10)

Согласно (1.5) относительную ошибку для доверительной вероятности Р = 0,68 (стандартную ошибку) можно найти по формуле

и в процентах . (1.11)

Вычислив стандартную ошибку , легко определить доверительный интервал и относительную ошибку для любой заданной доверительной вероятности Р результата путем умножения и на соответствующий коэффициент Стьюдента: ; .

Скорость счета импульсов от радиоактивного источника обычно приходится измерять при наличии радиоактивного фона. В таких случаях скорость счета импульсов от источника излучения находят как разность:

, (1.12)

где – скорость счета от источника излучения вместе с фоном; – скорость счета импульсов от фона.

В соответствии с формулами (1.7–1.11) при наличии радиационного фона стандартная ошибка определения скорости счета импульсов от источника излучения

, (1.13)

а относительная

. (1.14)

Чем больше время измерения, тем больше число зарегистрированных частиц и, следовательно, меньше относительная ошибка определения скорости счета. Но очевидно – время измерения, не может быть безграничным. К тому же увеличение длительности эксперимента снижает производительность работы, что особенно важно при проведении массовых исследований. Кроме того, при продолжительном пребывании регистрирующей аппаратуры под напряжением, как правило, снижается стабильность ее показаний, и эффект снижения ошибки измерения за счет растягивания эксперимента во времени может быть сведен на нет этим фактором.

Ошибка определения скорости счета импульсов от радиоактивного источника при наличии радиационного фона зависит не только от времени t измерения, но и от соотношения между временем, затраченным на измерение фона, и временем измерения скорости счета импульсов от источника излучения вместе с фоном. Если общее время измерения фиксированное, то, как следует из теории, ошибка измерения скорости счета от источника излучения будет минимальной, когда

, (1.15)

где _ – оптимальное время измерения ; _ф – оптимальное время измерения .

При заданной стандартной относительной ошибке измерения оптимальные значения _ф и _ можно найти по формулам:

; (1.16)

. (1.17)

Для практического выбора оптимального минимального времени измерения скорости счета импульсов от источника излучения необходимо провести измерение числа фоновых импульсов и числа импульсов от источника вместе с фоном в течение  = 100–200 с и определить приближенные значения скоростей счета и . Затем задав требуемое значение , определить соответствующие им минимальные оптимальные величины _ф и _ по формулам (1.16) и (1.17). Если скорость счета импульсов от источника излучения значительно больше фоновой скорости счета, последней можно пренебречь.

Соотношение между и , при котором скорость счета от фона можно не учитывать, зависит от требуемой точности результата. Так, при измерении с относительной ошибкой  = 10% фоновой скоростью счета можно пренебречь, если отношение ; при  = 3% можно пренебречь, если . Оптимальное время измерения скорости счета импульсов от исследуемого источника можно также выбирать с помощью таблицы Белла (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Таблица Белла

	= 1%		= 2%			= 3%		= 4%		= 5%
	Nф	N	Nф	N	Nф		N	Nф	N	Nф	N
1,3	240000	350000	60000	90000	27000		40000	9500	14000	2400	3500
1,5	89000	163500	22000	41000	10000		18000	3600	6500	900	1600
1,7	47000	105000	12000	26000	5000		12000	2000	4000	470	1000
2,0	24000	68000	6000	17000	3700		7600	1000	2700	240	710
3,0	11500	46000	3000	11000	1300		5100	450	1800	115	450
5,0	2000	23000	500	5700	200		2680	80	900	20	230
10,0	500	16000	130	4000	60		1800	20	650	5	160
20,0	150	13000	40	3700	20		1500	6	540	1,5	130
50,5	34	11900	9	3000	4		1300	1,3	480	0,34	120
100,0	11	11200	3	2800	–		1200	0,4	450	–	112
	–	10000	–	2500	–		1100	–	400	–	100

В столбцах этой таблицы указаны N_ф – число фоновых импульсов и N_ – число импульсов от источника излучения вместе с фоном с относительной ошибкой измерения, скорости счета импульсов от источника. Время, необходимое для измерения указанного в таблице Белла числа импульсов N_ф и N_, и представляет собой оптимальное время измерения. Горизонтальные линии в графах таблицы ограничивают значения N_ф и N_, при которых скоростью счета импульсов от фона можно пренебречь и считать, что   .

Коэффициент K в таблице Белла представляет собой отношение приближенных значений и , измеренных за равные короткие промежутки времени  = 100–200 с.