§ 11. Прямолінійні твірні на поверхні другого порядку

Виявляється, що не тільки циліндричні і конічні поверхні можуть утворитися з прямих ліній. Такі властивості мають також однопорожнинний гіперболоїд і гіперболічний параболоїд.

11.1. Прямолінійні твірні на поверхні однопорожнинного гіперболоїда

Розглянемо однопорожнинний гіперболоїд, заданий канонічним рівнянням

(19)

Перетворимо це рівняння таким чином:

(31)

Розглянемо тепер дві сім'ї прямих, заданих системами рівнянь

(32)

(33)

де , - довільне дійсне число, відмінне від нуля.

Кожна з цих прямих повністю лежить на поверхні (19). Дійсно, якщо координати деякої точки задовольняють систему (32), то, перемноживши рівності цієї системи, одержимо рівняння (31), а, отже, і рівняння (19). Таким чином, довільна точка прямої (32) лежить на поверхні (19).

Аналогічно і будь-яка точка прямої (33) лежить на поверхні (19).

Таким чином, сім'ї прямих (32), (33) повністю лежать на однопорожнинному гіперболоїді. Вони називаються прямолінійними твірними цього гіперболоїда.

Ці твірні мають такі властивості:

1. Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить одна і тільки одна твірна з кожної сім'ї.

Доведення. Нехай (х₀; у₀; z₀) - координати деякої точки однопорожнинного гіперболоїда» тоді

звідки

(34)

Виберемо тепер параметр λ так, щоб ця точка належала першій з площин (32). Для цього розв'яжемо рівняння

(35)

Поділивши почленно (34) на (35), дістанемо

(36)

Отже, дана точка належить і другій площині (32). Таким чи­ном, яка б не була точка (х₀; у₀; z₀), що лежить на однопорожнинному гіперболоїді, параметр л завжди можна вибрати так, щоб координати точки задовольняли систему (32). Причому цей параметр визнача­ється із рівняння (35) однозначно.

Отже, через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда прохо­дить єдина пряма із першої сім'ї.

Аналогічно доводиться це твердження і для другої сім'ї твірних.

2. Будь-які дві твірні однієї сім'ї не перетинаються і не паралельні, тобто є мимобіжними.

Доведення. Дійсно, ці прямі не можуть перетинатися, бо інакше через точку їх перетину проходило б дві твірні однієї сім'ї, що супе­речить властивості 1.

Ці прямі не можуть бути і паралельними. Щоб переконатися в цьому, покажемо, що напрямні вектори прямих (32) при різних зна­ченнях параметра Х₁ і λ₂ (λ_г ї λ₂) неколінеарні.

Знайдемо координати напрямного вектора прямої (32). Пере­пишемо систему (32) у вигляді:

Напрямним вектором даної прямої є

Напрямні вектори двох прямих із цієї сім'ї, що відповідають па­раметрам λ₁ і λ₂, такі:

Перевіримо, чи можуть бути вони колінеарними. Прирівнявши відношення відповідних координат, матимемо:

]Звідки:

Ця система сумісна, якщо λ₁ = λ₂. Отже, || р₂ тоді і тільки тоді, коли λ₁ = λ₂. Якщо ж λ₁ ≠ λ₂ то || р₂ .Це і доводить, що прямі не

паралельні. Отже, вони мимобіжні. Аналогічно розглядаються і пря­молінійні твірні другої сім'ї (33).

3. Довільні дві твірні різних сімей перетинаються або паралельні.

Доведення. Розглянемо дві довільні твірні з різних сімей, при цьому нехай твірній із першої сім'ї відповідає параметр λ₁, а з другої - λ₂. Щоб з'ясувати питання про перетин цих прямих, необхідно досліди­ти систему рівнянь

Оскільки одне з рівнянь системи є наслідком трьох інших (на­приклад, 4-те рівняння утворюється внаслідок почленного множення перших двох і ділення на відповідні частини третього рівняння), то І дослідимо систему з трьох перших рівнянь:

або

Визначник цієї системи

Якщо λ₁ ≠ λ₂, то Δ≠0, Таким чином, система має єдиний розв'язок, а отже, прямі перетинаються.

Якщо λ₁ = -λ₂, то Δ=0, а самі прямі паралельні.

Зауважимо, що, крім названих сімей прямолінійних твірних (32) і (33), є ще чотири прямі, які лежать у площинах, паралельних до координатної площини OXZ, і повністю належать однопорожнинному гіперболоїду. Це такі прямі:

Вони разом із сім'ями (32) і (33)визначають усі рямі, що повністю лежать на однопорожнинному гіперболоїді.

Таким чином, однопорожнинний гіперболоїд є лінійчатою повер­хнею (рис.30). Ця властивість широко використовується в будіве­льній техніці. Відомий російський інженер Володимир Григорович Шухов запропонував конструкцію з металевих балок, розміщених так, як прямолінійні твірні однопорожнинного гіперболоїда обертання. Ці конструкції виявилися дуже міцними і легкими. Вони часто ви­користовуються при будівництві водонапірних башт, високих радіо-і телещогл.