План.

1. Загальне рівняння поверхні другого порядку.

2. Метод перерізів вивчення форми поверхні.

3. Поверхні обертання.

4. Циліндричні поверхні.

5. Конічні поверхні.

6. Еліпсоїд.

7. Однопорожнинний гіперболоїд.

8. Двопорожнинний гіперболоїд.

9. Еліптичний параболоїд.

10.Гіперболічний параболоїд.

11. Прямолінійні твірні на поверхні другого порядку.

12. Прямолінійні твірні гіперболічного параболоїда.

13. Центр поверхні другого порядку.

14. Дотична площина до поверхні другого порядку.

15. Площини симетрії поверхні другого порядку.

16. Зведення загального рівняння поверхні другого порядку до канонічного вигляду.

§ 1. Загальне рівняння поверхні другого порядку

Поверхнею другого порядку називається поверхня, яка в деякій системі координат задається рівнянням F(х;у,z)=0, (1)

де F(х; у; z) - многочлен другого степеня. Загальне рівняння поверхні другого порядку записується у вигляді

(2)

де а₁₁, а₂₂, а₃₃,..., а₄₄ - деякі дійсні числа, і а₁₁ + а₂₂ + а₃₃ + а₁₂ + а₁₃ + а₂₃ ≠ О (тобто всі коефіцієнти при членах другого степеня одночасно не дорівнюють нулю). При цьому покладатимемо: а_ij = а_ji, і, j = 1…4 .

Якщо перейти до іншої системи координат, то і рівняння поверхні зміниться, але воно не може змінитися настільки, щоб всі коефіцієнти при квадратах і добутках змінних стали нульовими, бо тоді отримаємо рівняння площини, яка в довільній системі координат задається лінійним рівнянням. Справедлива така теорема. Рис. 1

Теорема 1. Перетином поверхні другого порядку з довільною площиною є лінія другого порядку або пряма.

Доведення. Нехай поверхня σ перетинається деякою площиною α і в перетині утворюється крива γ (рис. 1). Виберемо прямокутну систему координат так, щоб площина ОХY збігалася з площиною α. Тоді рівняння площини α:

Z = 0. (3)

Припустимо, що поверхня σ в цій системі координат задається рівнянням (2), тоді лінія перетину у поверхні з площиною задаватиметься системою рівнянь (2), (3), яку можна записати так:

А це є рівняння лінії другого порядку в площині ОХY.

У випадку, коли a₁₁ = а₂₂ = а₁₂ = 0 це буде пряма.

Отже, лінія γ є лінією другого порядку або прямою, що й треба було довести.

Приклад, Визначити лінію перетину поверхні другого порядку

х² + 2у² + z² - 2ху – 4yz - 2х + у + 4z + 1 = О

з площиною ОХZ. Система координат прямокутна декартова.

Розв'язання. Шукана лінія перетину задається системою рівнянь

або

Визначимо, який вигляд має лінія, задана на площині ОХZ рівнянням

x² + z² - 2х + 4z + 1 = 0.

Виділяючи повні квадрати по кожній змінній, дістанемо

(х² - 2х + 1) -1 + ( z²+ 4z + 4) - 4 + 1 = 0;

Отже, дана лінія є коло з центром у точці (1 ; -2) і радіусом R = 2.