§ 16. Зведення загального рівняння поверхні другого порядку до канонічного вигляду

Нехай у деякій прямокутній системі координат поверхня другого порядку задана загальним рівнянням

a₁₁х² + а.₂₂у² + а.₃₃z² + 2а₁₂ху + 2a_l3xz+

+ 2а₂₃уz + 2а₁₄х + 2а₂₄у + 2а₃₄z + а₄₄ = 0. (2)

Розглянемо вираз

Ф(x;y;z)= a₁₁х² + а.₂₂у² + а.₃₃z²+ 2а₁₂ху +2a_l3xz + 2a₂₃yz, (53)

який називається квадратичною формою даної поверхні. Введемо позначення

Тоді вираз (53) можна записати у вигляді Ф(х; у; z) — Х*АХ.

Дійсно,

[a₁₁х + а.₂₁у + а.₃₁z, а₁₂х +a₂₂y + a₃₂z,

a₁₃х + а₂₃у + а.₃₃z] =x(a₁₁х + а.₂₁у + а.₃₁z)+y(а₁₂х +a₂₂y + +a₃₂z)+z(a₁₃х+а₂₃у + а.₃₃z)= a₁₁х² + а.₂₂у² + а.₃₃z²+ 2а₁₂ху +2a_l3xz + +2a₂₃yz

Таким чином,

Ф(х; у; z) = Х*АХ. (54)

Поставимо тепер завдання знайти таку нову систему координат 0'X'Y'Z' у якій рівняння даної поверхні матиме найпростіший вигляд.

Припустимо спочатку, що початки нової і старої систем координат збігаються. Тоді формули перетворення мають вигляд:

(55)

Наше завдання полягає в тому, щоб за допомогою перетворення (55) звести квадратичну форму (54) до якомога простішого ви­гляду. Введемо позначення:

Тоді формули (55) запишуться у вигляді

Х = СХ´ (56)

Якщо формулу (56) підставити у (54), то квадратична форма

Ф(х; у; z) зводиться до такого вигляду:

Ф'(х';у';z') = (CX')* ACX' = (Х')*С*АСХ'.

Таким чином, в результаті даного перетворення квадратична форма Ф(х; у; z) зводиться до іншої квадратичної форми Ф'(х'; у'; z') зі змінними х'; у'; z' і новою матрицею С*АС, де С* - матриця, транспоно­вана з матрицею С.

Тому, щоб звести квадратичну форму (54) до найпростішого вигляду, треба підібрати перетворюючу матрицю С таким чином, щоб матриця С* АС мала найпростіший вигляд.

Виявляється, що матриця С* АС матиме найпростіший вигляд, якщо її стовпцями будуть власні вектори матриці А, які відповідають її власним значенням λ_1, λ₂, λ₃. При цьому необхідно, щоб ці власні вектори утворювали ортонормований базис.

Дійсно, нехай

є власними векторами матриці А, які відповідають її власним зна­ченням λ₁ ,λ₂ ,λ₃. Це означає, що виконуються рівності Аі =λ₁і, А і= λ_1j, Ak – λ₁k. Будемо вважати, що вектори і, j, k одиничні й ортогональні. Складемо матрицю С з координат цих векторів:

Тоді

Таким чином, у новій системі координат, координатними векто­рами якої є ортонормовані власні вектори і, j,k матриці А, квадра­тична форма набуває вигляду

Ф(х';у';z') = [х'у' z'] =[λ₁ х' λ₂ у' λ₃ z'] = λ₁ х'² λ₂ у'² λ₃ z'²=

= Кх'^г +A₂y'²+A,2'².

Тому якщо від системи координат OXYZ перейти до нової систе­ми координат 0'X'Y'Z' координатними векторами якої є ортонормо-вана система власних векторів матриці А, то в цій системі рівняння поверхні зведеться до вигляду

Λ₁х'² + λ₂у'² + λ₃z² + 2a'₁₄x' + 2a'₂₄y' + 2a'₃₄z' + а₄₄ = 0.

За допомогою паралельного перенесення системи координат це рівняння можна спростити ще більше. У результаті цього неважко переконатися, що довільна поверхня другого порядку є або еліпсої­дом, або однопорожнинним чи двопорожнинним гіперболоїдом, або

еліптичним чи гіперболічним параболоїдом, або конусом, або еліптич­ним, гіперболічним чи параболічним циліндром, або ж парою пло­щин, які можуть перетинатися, бути паралельними чи збігатися. Причому поверхня

може бути і уявною, наприклад

уявний еліпс, уявний конус.

З цих міркувань випливає такий алгоритм зведення загального рівняння поверхні другого порядку до канонічного вигляду:

1. Складаємо характеристичне рівняння поверхні другого порядку

(52)

і знаходимо його корені λ₁,λ₂,λ₃

2. Знаходимо власні вектори матриці А, які відповідають знайде­ ним власним значенням, розв'язуючи рівняння:

Аа₁ = λ₁а₁, Аа₂ = λ₂a₂, Aа.₃ - λ₃а₃.

Оскільки матриця А симетрична, то при різних значеннях коренів рівняння (52) власні вектори будуть попарно ортогональними. Якщо ж рівняння (52) має кратний корінь, то для нього потрібно підібрати відповідні ортогональні власні вектори, кількість яких дорівнює крат­ності кореня, що, як відомо з курсу лінійної алгебри завжди можли­во. У кожному випадку ці вектори потрібно пронормувати, взявши за­мість них одиничні вектори

3. Складаємо формули переходу від системи координат OXYZ до нової системи O'X'T'Z':

в яких коефіцієнти при змінних х у у z є координатами знайдених базисних векторів.

4. Підставляємо ці формули у початкове рівняння (2), в резуль­таті чого воно зведеться до вигляду

λ₁х'² + λ₂y'² +λ₃z^’2 + 2а’₁₄ х'+ 2а'₂₄у'+ 2а'₃₄z' а₄₄ =0.

5. Виділяючи в одержаному рівнянні повні квадрати і застосову­ючи паралельне перенесення системи координат, зводимо рівняння даної поверхні до канонічного вигляду.

Приклад 1. Звести до канонічного вигляду рівняння поверхні

2x² + у² + 2z² - 2ху - 2yz + х - 4у – 3z + 2 = 0.

Розв'язання.

1. Складаємо характеристичне рівняння

(2-λ)²(1-λ)-2(2-λ) = 0;

(2-λ)(2-3λ + λ² -2)=0;

(2 - λ)λ(λ - 3) = 0.

λ₁ =2, λ₂ = 3, λ₃ = 0. 2. Знаходимо відповідні власні вектори

λ₁ =2

Якщо А =1, то С = -1. Отже, а₁ =

λ₁ =2

Якщо В = 1, то А = -1, С = -1. Отже, а₂ =

λ₁ =2

Якщо B = 2, то А =1,C=1. Отже, а₃ =

Нормуємо знайдені власні вектори:

Складаємо формули переходу до нової системи координат O'X'Y'Z'

Підставивши ці формули в рівняння поверхні, дістанемо

5. Виділимо повні квадрати:

Застосувавши паралельне перенесення

або

Дістанемо

або

Таким чином, дана поверхня - еліптичний параболоїд.

Приклад 2. Звести до канонічного вигляду рівняння поверхні

х² -2у² +z² + 4ху- 8хz - 4yz ~14x - 4у + 14z + 16 - 0.

Розв'язання.

1. Складаємо і розв'язуємо характеристичне рівняння

(1-λ)²(-2-У)+32-16(-2-У)-8(1-У)=0

λ³-27λ-54=0

(λ+3)²(λ-6)=0

λ₁₂=-3, λ₃=6

2.Знаходимо відповідні власні вектори:

λ₁ =2

Власні вектори мають координати:

Нехай А = 1, С = 0, тоді

0

Якщо А=0 С =1, тоді

Ортогоналізуємо ці вектори. Нехай

причому a₁┴ a₂, тобто (a₁ a₂) = 0, звідки

Отже

λ₁ =2

Нехай C = -2, тоді A = 2, В = 1. Отже, a₃ =

Нормуємо знайдені власні вектори:

3. Складаємо формули переходу до нової системи координат OX'T'Z':

4. Підставимо ці формули у рівняння поверхні:

4. Виділимо повні квадрати:

Застосувавши паралельне перенесення

або

у кожній системі ОХ”Y”Z” дістанемо рівняння:

або

Отже, дана поверхня – круговий конус.

55