4. Дослідження нелінійних систем (метод гармонійного балансу).

Метод гармонического баланса позволяет оценить устойчивость нелинейных систем, определить амплитуду н частоту автоколеба­ний, а также выбрать корректирующие цели, обеспечивающие заданные характеристики нелинейных систем. Возможность применения этого метода к стационарным системам определяется близостью периодического дви­жения системы к гармоническому. Это усло­вие обычно удовлетворяется, когда линейные части системы являются фильтрами низких частот, т. е. хорошо отфильтровывают высо­кие гармоники.

Предположим, что нелинейная система состоит из линейной части с комплексной частотной функцией и нелинейного безинерционного эвена с комплексным гармоническим коэффициентом усиления . Пусть в этой системе возникли автоколеба­ния с частотой ш, н амплитудой А_н тогда согласно критерию Найквиста

Для определения частоты и ампли­туды А_а автоколебаний решение (2.168) удобно проводить графически. Для этого построим (рис. 2.42, и) в комплексной плос­кости W_л{jw) и –М_и(А). Если они пересе­каются, то в системе возможны автоколеба­ния, если не пересекаются, то автоколебания невозможны. Параметры автоколебаний и А_а определяются точкой пересечения

Если Wл(jw) и -М_Н(А) пересекаются в нескольких точках (рис. 2.42,6), то это сви­детельствует о том, что в системе возможны автоколебания с различными параметрами (w и А).

Определение устойчивости автоколеба­ний производится по следующему правилу: если Wл(jw) при изменении w от 0 до оо охватывает часть -М_Н(А), соответствую­щую увеличению амплитуды, то автоколеба­ния неустойчивые, в противном случае — устойчивые.

Руководствуясь этим правилом, можно заключить, что из трех автоколебании на рис. 2.42, а и б устойчивым будут только автоколебания в первой точке на рис. 2.42,б с параметрами и А_а1.

5. Дослідження нелінійних систем (метод фазових траєкторій).

Метод фазовых траекторий. Состояние динамической системы, описываемое дифференциальными уравнениями n-го порядка, в каждый момент времени определяется зна­чениями регулируемой величины и (n — 1) ее производных. Это дает возможность предста­вить в некотором n-мерном пространстве состояние системы в каждый момент вре­мени отдельной точкой - так называемой изображающей точкой. Процесс изменения состояния системы представляется как неко­торое движение изображающей точки, точ­нее — как ее траектория, так называемая фазовая траектория. Совокупность фазовых траекторий составляет фазовую картину системы (фазовый портрет системы).

Для практических расчетов пользование многомерным фазовым пространством свя­зано с определенными трудностями, поэтому при анализе нелинейных систем обычно ограничиваются двухмерной фазовой плос­костью. В этом случае по оси абсцисс откладывают значение регулируемой вели­чины у (ее отклонение от установившегося состояния), а по оси ординат - значение

z = dy/dt.

Состояние АСР, описываемое уравне­нием не выше второго .порядка, в каждый момент времени определяется значениями у и z и может быть охарактеризовано поло­жением точки М на фазовой плоскости (рис. 2.45). В переходном процессе значения у и z будут изменяться и, следовательно, изображающая точка М будет занимать раз­личные положения на фазовой плоскости. По траектории этой точки можно судить о характере переходного процесса.

Если у — отклонение регулируемого па­раметра от установившегося значения, то для устойчивых систем в установившемся состоянии у = 0 и z = 0, следовательно, фазовые траектории устойчивой АСР при t -> 0 должны стремиться к началу коорди­нат, а фазовые траектории неустойчивой АСР при t -> ∞ должны удаляться от начала координат. Точки фазовой плоскости, где сходятся (или откуда расходятся) фазовые траектории, называются особыми точками.