31.Який математичний апарат використається для аналізу динамічних

режимів роботи САУ?

Модель – некоторая система, сохраняющая существенные черты оригинала и допускающая ее исследование физическими или математическими методами. Моделирование — это процесс проведения экспериментов на модели вместо прямых экспериментов на самой системе. В настоящее время моделирование наиболее широко применяемый способ научного познания реальной действительности. Очень часто моделирование – это единственное средство познания сложных систем. Если поставлена задача составления исходных дифференциальных уравнений САУ, то возможны две ситуации. Либо детальная декомпозиция системы на модули и отдельные звенья возможна, либо нет. Если декомпозиция возможна, то, опираясь на постулаты о сохранении материи и энергии (для соответствующего энергетического домена) и на закон Ома (в соответствующей формулировке), приступают к составлению исходных дифференциальных уравнений САУ, т.е. к созданию истинной модели системы. Истинной будем называть такую модель или такое математическое описание, о которых известно, что они детально соответствуют физической природе системы. Если декомпозиция на модули и звенья для системы невозможна, то, не имея детальной информации о ее физической природе, можно получить лишь упрощенную модель или упрощенное математическое описание, которые, однако, позволят исследовать систему и получить адекватные результаты. В этом случае совокупность исходных дифференциальных уравнений САУ получают через частотный домен, путем экспериментального снятия частотных характеристик. Для физической системы порядок системы дифференциальных уравнений ее истинной модели обычно в десять и более раз выше порядка системы дифференциальных уравнений ее ложной модели (например, для моделей операционных усилителей). Тем обусловлена широкая популярность ложных моделей, и типовых звеньев, как структурных элементов для их создания. Дифференциальное уравнение САУ или уравнение динамики ее движения – это уравнение, определяющее зависимость выходного сигнала от входной переменной . В общем виде оно может быть представлено как:

где и – некоторые коэффициенты, значения которых в общем случае не являются постоянными.

Решение (1) определяет поведение системы автоматического управления в динамических режимах работы. Вводя в рассмотрение алгебраический оператор дифференцирования вида ,

получаем запись дифференциального уравнения (1) в операторной форме записи.

.

Полученное алгебраическое уравнение позволяет определить связь между входной и выходной переменной САУ как

.

Связь между выходной и входной переменными можно определить как

З2. Як записати диференціальне рівняння руху САУ в операторній формі?

конец вопроса31

33. Як представити рівняння руху сау у формі Коші?

В целях формализации процесса составления исходных дифференциальных систем используют такие методы, как "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов" и их аналоги, имеющиеся во всех энергетических доменах. В результате их применения получается единая система:

(3) где: — обобщенные координаты системы, в том числе (для САУ) ошибка — и регулируемая величина — ;

– полиномы от оператора , определяемые свойствами САУ. Они могут быть постоянными или зависящими от условий работы системы;

— внешние координаты — задающие и возмущающие воздействия;

— алгебраизированный оператор дифференцирования.

Совокупность уравнений (1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты.

Для удобства и формализации решений систему уравнений (3) могут представить в одной из пяти стандартных форм:

• в форме Коши;

• в пространстве состояний;

• в виде передаточных функций — .

Рассмотрим форму Коши, как способ представления уравнение динамики движения системы. При этом используется матричная форма записи системы дифференциальных уравнений решенных исключительно относительно первой производной координат САУ.

(4)

где:

— собственные координаты системы, в которые входят ошибка системы , воздействие на объект , выходная координата — ,...;

_n — постоянные или переменные коэффициенты, определяемые структурой и параметрами системы автоматического управления;

— воздействия на систему — сигнал задания или помехи .

Уравнения могут быть решены относительно любой из фазовых координат .

В общем случае система дифференциальных уравнений (4) является нелинейной. Поэтому ее использование для решения задач анализа и синтеза САУ в аналитической форме затруднено. Поэтому в теории автоматического управления широко используется методы линеаризации систем дифференциальных уравнений. Наиболее часто применяемым является метод малых отклонений, основанный на представлении нелинейных характеристик отрезками прямых и замене действительных значений переменных отклонениями от выбранного положения равновесия. Применение этого метода к дифференциальным уравнениям базируется на способах, используемых при линеаризации статических характеристик САУ, как это было показано ранее.

В последнее время для представления уравнения движения САУ широко используется метод пространства состояний, который представляет собой ничто иное, как представления системы (4) в матричной форме записи.

Уравнения движения произвольной системы автоматического управления можно записать в виде:

для I=1,..N (5)

где – Х- координаты системы. Частью из них можно управлять с помощью M уравнений -, характеризующих влияние функций управления, внешних возмущений или изменений параметров. — некоторая функция всех перечисленных аргументов. Эти уравнения записываются на основе физических законов Ньютона, Кирхгофа, математического или энергетического баланса и т.п. При этом выходные сигналы САУ Y определяется векторным уравнением вида:

(6)

где – некоторая функция координат системы, а также внешних возмущений и управляющих воздействий.

Далее мы будем иметь дело с векторной формой записи уравнений (5) и (6) в виде:

,

.

где

— вектор состояния системы;

— вектор внешних воздействий на САУ, включающий в себя управляющие и возмущающие воздействия на САУ;

— вектор выходных сигналов САУ.

Из всего множества таких систем будем рассматривать только те разделы, которые представляют фундамент теории линейных систем автоматического управления, описываемых уравнениями:

(7)

где — матрица размерности с элементами ;

— матрица размерности с элементами ,

— матрица размерности с элементами ,

— матрица размерности с элементами ,