18. Теорема про загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Теорема. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається з загального розв’язку лінійного однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, не розв’язаного відносно похідної). Нехай у деяком замкненому околі точки функція задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

2) ; 3) .

Тоді при , де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам

.

Визначення. Загальним розв’язком диференціального рівняння -го порядку називається -раз неперервно диференційована функція , що обертає при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків.

Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння

Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але сталі вважаються невідомими функціями. Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння записано у вигляді .

Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді , де - невідомі функції. Оскільки підбором - функцій необхідно задовольнити одному рівнянню, тобто одній умові, то умову можна накласти довільно. Розглянемо першу похідну від записаного розв’язку і зажадаємо, щоб . Розглянемо другу похідну і зажадаємо, щоб . Продовжимо процес взяття похідних до -ї і зажадаємо, щоб . На цьому - умова вичерпалася. І для -ї похідної справедливо .

Підставимо взяту функцію та її похідні в неоднорідне диференціальне рівняння

Оскільки - розв’язок однорідного диференціального рівняння, то після скорочення одержимо

-у умову Додаючи перші - умови, одержимо систему

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок

І загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння запишеться у вигляді

, де - довільні сталі,

а . Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку

і загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд , то частинний розв’язок неоднорідного має вигляд . І для знаходження функцій маємо систему

Звідси , . І одержуємо з обчисленими функціями і .

4. Системи лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіціентами . Знаходження загального розв’язку однорідних систем. Загальна теорія

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

називається лінійною неоднорідною системою диференціальних рівнянь.

Система називається лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь. Якщо ввести векторні позначення , , ,

то лінійну неоднорідну систему можна переписати у вигляді а лінійну однорідну систему у вигляді . Якщо функції неперервні в околі точки , то виконані умови теореми існування та єдиності розв’язку задачі Коші, і існує єдиний розв’язок

системи рівнянь, що задовольняє початковим даним