Лінійні однорідні рівняння з сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами .

Розв’язок будемо шукати у вигляді . Продиференціювавши, одержимо . Підставивши в диференціальне рівняння, отримаємо . Скоротивши на , одержимо характеристичне рівняння . Алгебраїчне рівняння -го степеня має - коренів. У залежності від їхнього вигляду будемо мати різні розв’язки.

1) Нехай - дійсні і різні. Тоді функції є розв’язками й оскільки всі різні, то - розв’язки лінійно незалежні, тобто фундаментальна система розв’язків. Загальним розв’язком буде лінійна комбінація

2) Нехай маємо комплексно спряжені корені . Їм відповідають розв’язки . Розкладаючи їх по формулі Ейлера, одержимо:

І, як випливає з властивості 4, функції й будуть окремими розв’язками. Таким чином, кореням відповідають два лінійно незалежних розв’язки . Загальним розв’язком, що відповідає цим двом кореням, буде .

3) Нехай - кратний корінь, кратності , тобто .

a) Розглянемо випадок . Тоді характеристичне рівняння вироджується в рівняння . Диференціальне рівняння, що відповідає цьому характеристичному, запишеться у вигляді . Неважко бачити, що частковими, лінійно незалежними розв’язками цього рівняння, будуть функції . Загальним розв’язком, що відповідає кореню кратності , буде лінійна комбінація цих функцій .

б) Нехай - корінь дійсний. Зробивши заміну , на підставі властивості 2 лінійних рівнянь після підстановки знову одержимо лінійне однорідне диференціальне рівняння . Причому, оскільки а , то показники зв'язані співвідношенням . Звідси кореню кратності відповідає корінь кратності . Як випливає з попереднього пункту, кореню кратності відповідає загальний розв’язок вигляду . З огляду на те, що , одержимо, що кореню кратності відповідає розв’язок .

в) Нехай характеристичне рівняння має корені кратності . Проводячи аналогічні викладки одержимо, що їм відповідають лінійно незалежні розв’язки

І загальним розв’язком, що відповідає цим кореням буде

3. Знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння n-го порядку за допомогою методу варіації довільної сталої. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

Загальний вигляд лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь наступний

.

3.2.1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних рівнянь. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

Властивість 1. Якщо - розв’язок лінійного однорідного рівняння, - розв’язок неоднорідного рівняння, то буде розв’язком лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Дійсно, нехай і - розв’язки відповідно однорідного і неоднорідного рівнянь, тобто

Тоді

тобто - розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.

Властивість 2 (принцип суперпозиції). Якщо - розв’язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь , , то з довільними сталими буде розв’язком лінійного неоднорідного рівняння Дійсно, нехай - розв’язки відповідних неоднорідних рівнянь, тобто

Склавши лінійну комбінацію з рівнянь і їхніх правих частин з коефіцієнтами одержимо

або, перегрупувавши, запишемо

що і було потрібно довести.

Властивість 3. Якщо комплексна функція з дійсними елементами є розв’язком лінійного неоднорідного рівняння з комплексною правою частиною , то дійсна частина є розв’язком рівняння з правою частиною , а уявна є розв’язком рівняння з правою частиною .

Дійсно, як випливає з умови,

Розкривши дужки, одержимо

А комплексні вирази дорівнюють між собою тоді і тільки тоді, коли дорівнюють окремо дійсні та уявні частини, тобто

що і було потрібно довести.