- •Диф рівняння
- •1: Теорема про існування та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння першого порядку.
- •1. Диференціальні рівняння першого порядку.
- •Теорема про існування та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння першого порядку, що розв’язане відносно похідної.
- •2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами. Побудова загального розв’язку.
- •Лінійні однорідні рівняння з сталими коефіцієнтами
- •3. Знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння n-го порядку за допомогою методу варіації довільної сталої. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
- •3.2.1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних рівнянь. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння
- •Теорема про загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння.
- •Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння
- •4. Системи лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіціентами . Знаходження загального розв’язку однорідних систем. Загальна теорія
- •4.2.1. Властивості розв’язків лінійних однорідних систем
- •Теорема про загальний розв’язок систем лінійних однорідних диференціальних рівнянь.
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами.
- •4.3.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.
- •Матричний метод розв’язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом
- •5.Представлення розв’язку лінійних неоднорідних систем за допомогою формули Коши. Лінійні неоднорідні системи
- •Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем
- •Теорема про загальний розв’язок систем лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.
- •Метод варіації довільної сталої знаходження частинного розв’язку лінійних неоднорідних систем. Формула Коші. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих
- •Формула Коші
- •6.Теорія стійкості. Стійкість лінійних стаціонарних систем. Критерій Гурвіца. Теорія стійкості руху
- •Фазовий портрет лінійної системи на площині
- •7.Метод функцій Ляпунова. Основні визначення та теореми Другий метод Ляпунова
- •Основні визначення
- •Методи побудови функції Ляпунова
Методи побудови функції Ляпунова
До цього часу не існує конструктивних методів побудови функцій Ляпунова.
1. Розглянемо систему на площині:
Функцію Ляпунова шукаємо у вигляді:квадратичної форми. Якщо форма додатньо визначена, то лінії рівня α являють собою еліпси. Виберемо коефіцієнти A, B, C таким чином, щоб зодовольняли умовам ,тобто виконувалась друга теорема Ляпунова.
Звідси маємо:
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях одержимо:
Звідси: , , ,
Умовою асимптотичної стійкості є (за критерієм Сільвестра)
2. Для систем загального вигляду , . Функція Ляпунова шукається у вигляді загальної квадратичної форми: , де симетрична додатньо визначена матриця. Її похідна
Якщо прирівняти похідну від’ємно визначеній квадратичній формі , де - додатньо визначена матриця, то знаходження функції Ляпунова зводиться до розв’ язання матричного рівняння
Доведено, що якщо А – асимптотично стійка (тобто ), то при довільній додатньо визначеній матриці С матриця рівняння Ляпунова має єдиний розв’язок – додатньо визначену матрицю Н.
Таким чином існування квадратичної функції Ляпунова є необхідною і достатньою умовою асимптотичної стійкості лінійної стаціонарної системи
3. Рівняння коливання , - сила тертя, - відновлююча сила.
Заміна . Тоді рівняння перейде в систему
Функцію Ляпунова беремо у вигляді повної енергії
Повна похідна
І умова стійкості точки спокою х=0, у=0 є f(x)x>0, g(x)>0.
-
Метод лінійного наближення є простим. Недоліком є наявність критичних випадків і неможливість оцінки області стійкості.
-
Метод функції Ляпунова є (взагалі кажучи) необхідною і достатньою умовою стійкості. Причому він дозволяє оцінити область стійкості. Але побудова функції Ляпунова є в загальному випадку проблемою.