ОЗО Консп 4 испр

Формирование основных логических форм мышления в процессе обучения математике

Логика и методология выполняют две функции по отношению к ТиМОМ: определяют содержание обучения математике и требования к организации обучения математике

Def₁. Логика (от греческого logos – «мысль», «слово») – наука о правилах рассуждений и формах мышления.

Def₂. Методология (от греческого – «теория метода») – наука о логической организации, структуре, методах и средствах научно-познавательной деятельности. Понятие методологии математики имеет более узкий смысл, связанный со спецификой предмета, методов математики, спецификой ее роли и места в общественном знании.

Def₃. Логическую структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют логическими формами мышления.

К основным формам мышления относятся: ______________________________________________.

1. Формирование математических понятий

Def₄. Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные (с точки зрения цели изучения) свойства изучаемых объектов.

В дидактике и психологии процесс формирования понятий описывается схемой Джона Локка (см. схему 1). Эта схема показывает, что для формирования понятий учащиеся должны быть включены в следующие последовательные виды деятельности:

1) _________________________________________________________________________;

2) _________________________________________________________________________;

3) _________________________________________________________________________;

4 ) _________________________________________________________________________.

Схема 1. Формирования понятий (по Д. Локку).

Задание 1. Опишите виды заданий, которые должны быть поставлены перед учащимися для введения по схеме Д. Локка понятия «параллелепипед».

Далеко не все математические понятия можно ввести, опираясь на эту схему. Так, например, понятие «точка» имеет другое происхождение _____________________________________________.

Рассмотрение «понятия» как логико-методологической категории позволит описать: а) особенности логической структуры математических понятий; б) особенности введения понятий в математическую теорию; в) особенности развития понятий в математической науке.

Понятие (в логике) - предикат, которому присвоено определенное имя – термин. Характеристики:

• Термином (слово или словосочетание математического языка, обозначающее это понятие).

• Содержанием (множество всех свойств изучаемых объектов, закрепленных в понятии – свойств понятия).

• Объемом (множество объектов, обладающих этим набором свойств – область истинности предиката).

Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: ___________________

______________________________________________________________________. Содержание математических понятий может раскрываться:_______________________

______________________________________________________________________. Объем математического понятия может раскрываться также двумя способами: ______

______________________________________________________________________.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами из курса «Введение в математику» сформулируйте требования, предъявляемые к классификации математических понятий.

Задание 2. Перечислите все известные вам свойства, входящие в содержание понятия «параллелограмм». Установите, что произойдет с объемом этого понятия, если

а) к его содержанию добавить свойство перпендикулярности диагоналей.

б) из его содержания исключить свойство параллельности каждой пары противоположных сторон.

К математическим терминам предъявляется требование однозначности.

Задание 3. Внесите уточнения в предложения, использующие омонимы (термины, обозначающие сразу несколько различных понятий) так, чтобы предложения стали истинными высказываниями. Сделайте обобщающий вывод о способах исключения омонимов в математических языках.

А). Корнем могут быть только неотрицательные числа.

Б). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной.

В). Операция деления двух чисел не всегда выполнима.

Так как однозначность математических терминов достигается за счет отнесения их к той или иной математической теории, то говорят, что математические понятия не существуют вне математической теории. С учетом этой особенности математических понятия, в ТиМОМ принят термин «предпонятие» для обозначения результатов формирования математических понятий в пропедевтических курсах (т.е. в математических курсах, не раскрывающих систему математической теории – математика 1-6 классы).

В математической теории понятия вводятся либо через систему аксиом, либо через определение. Аксиомы, позволяют раскрыть свойства отношений системы первичных понятий математической теории. Определения – описать свойства остальных понятий теории, посредством первичных понятий.

Задание 4. Сформулируйте определение понятия «параллелограмм». Постройте его родословную. Установите, какие первичные понятия евклидовой геометрии являются базовыми для введения этого определения.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами из курса «Введение в математику» составьте классификацию определений математических понятий по их логической структуре», вспомните, что такое «определение».

В ШКМ понятия вводятся: через определение, систему аксиом, описания, иллюстрирующие примеры, переопределяются. Причины переопределения: ____________________________________.

Математические понятия можно классифицировать по уровням абстракции (Г. Фреге):

Уровень абстракции	Характеристика понятия	Пример
I ступень (понятия модельной природы)	ТI=P(x), где - множество предметов реальной действительности.	М – _________________________. ТI=P(x) - _____________________.
II ступень	ТII=P(x), где - множество понятий первой ступени абстракции.	М – _________________________ _____________________________. ТII=P(x) – ____________________.
… и т.д.

В 1-6 классах изучаются лишь математические понятия модельной природы, в более старших классах к ним присоединяются понятия и второй ступени абстракции.

В содержании математических понятий модельной природы закрепляются лишь те свойства их реальных прототипов, которые значимы с точки зрения предмета математики: ___________________

______________________________________________________________________________________.

Задание 2. Среди перечисленных свойств объекта изучения выберите математически значимые: А). Характеристики движения автомобиля: величина скорости, зависимость скорости от времени, причины изменения скорости, направление движения, цель движения. Б). Характеристики упаковочного материала: объем, назначение, сырье, форма, условия минимальности затрат сырья на производство.

Среди математических понятий можно выделить не только понятия – «объекты», но и понятия – «методы», а также понятия, имеющие двойственную природу.

Задание 5. Среди перечисленных ниже понятий найти те, которые можно отнести к понятиям – «объектам», понятиям – «методам», понятиям – «методам - объектам»: четырехугольник, вектор, производная функции в точке, уравнение, число, симметрия, умножение.

Знание природы математических понятий необходимо учителю для того, чтобы правильно понимать, задачу «сформировать это понятие». Сформировать понятие–«объект» означает ____________________________________________________. Сформировать понятие – «метод» означает _______________________________________________________________________________. Кроме того, знание природы математических понятий помогает учителю правильно организовать процесс их формирования: _______________________________________________________________.

Признаки природы математических понятий: вид определения, этимологическое значение термина.

Технологическая цепочка (методическая схема) формирования понятий:

Название этапа	Содержание этапа	Результат
1. Подготовительный этап	Создание мотивационной, чувственной и информационной базы для введения понятия.	Готовность к восприятию нового понятия
II. Основной этап	Введение термина, символа, определения или описания понятия, включение в деятельность подведения объектов под понятие, описания свойств объектов понятия.	Знания термина, символа, определения, причин введения понятия в науку, этимологии термина, готовность к оперированию понятием с опорой на его определение и/или чувственный образ.
III. Этап закрепления	Включение введенного понятия в систему ранее известных понятий, формирования новых понятий с его использованием.	Развертывание знаний о новых свойствах понятий и умений осуществлять действия, соответствующие образовательным функциям понятия.

Для реализации третьего этапа этой схемы необходимо знать, какие отношения можно устанавливать на множестве математических понятий (предшествования, сравнимости содержания, совместимости объемов):

С хема 2. Отношения между понятиями.

Задание 6. Установите отношение, в котором находятся данные понятия:

а) «арифметическая прогрессия с первым элементом 1 и разностью 1» - «множество натуральных чисел»; б) «четные числа» – «нечетные числа»; в) «прямая» - «отрезок»; г) «прямоугольник» - «квадрат»; д) «ромб» - «прямоугольник»; е) «прямая евклидовой плоскости» - «прямая геометрии Лобачевского»; ж) «степенное выражение» - «иррациональное выражение».

2. Формирование знаний учащихся о математических суждениях.

Def₅.Суждение (высказывание) – это такая логическая форма мышления, в которой отображаются наличие или отсутствие самого объекта, его свойств или связей.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами курса «Введение в математику» вспомните вид основной логической структуры всякого суждения, виды математических суждений, особенности их логической структуры и связь истинностных значений (аксиома, теорема-свойство, теорема-признак, теорема о существовании и единственности, теорема-критерий, прямая, обратная, противоположная, контрапозитивная).

Технологическая цепочка (методическая схема) усвоения математического суждения:

Название этапа	Содержание этапа	Результат
1. Подготовительный этап	Мотивация введения нового суждения, подготовка к его восприятию или самостоятельному открытию	Готовность учащихся к пониманию суждения
2. Основной этап	Подведение учащихся к формулировке суждения и/или осмысление его содержания, включение в деятельность оперирования суждением в соответствии с его природой	Сформированность представлений о причинах введения суждения. Сформированность знания суждения на уровне: готовности к его воспроизведению, готовности к осуществлению элементарных математических действий на его основе
3. Этап закрепления	Включение учащихся в деятельность проверки и/или обоснования истинности суждения, развертывания на его основе новых суждений, оценки теоретической значимости суждения об области его применимости	Сформированность знаний о суждении на уровне готовности к его трансформации (получению следствий, аналогий, обобщений, инверсий) и широкому использованию в сочетании с другими суждениями

Для реализации третьего этапа этой схемы необходимы знания о связях данного суждения с другими суждениями теории: логических, информационных, причинно-следственных, функциональных.

Def₆. Логическими называются связи между суждениями, возникающие в результате установления различного вида логических отношений на множестве суждений (наиболее значимым отношением для построения математической теории является отношение логического следование).

Def₇. Информационные связи, возникают в результате установления содержательной общности, сходства и различия суждений.

Def₈. Причинно-следственные связи, возникают в результате соотнесения суждения с логикой научного и/или учебного познания.

Def₉. Функциональные связи, возникают в результате соотнесение суждения с областью его приложения.

Задание 6. Поставьте в соответствие суждению А суждение Б. Установите тип связи, образующий выделенную Вами пару.

Суждение А.	Суждение Б.
1. Все одновременно четные и нечетные функции отличаются друг от друга только областью определения.	1. Функция монотонна на промежутках области определения
2. Всякое уравнение вида , где a, k числовые коэффициенты, имеет не более одного корня.	2. Пересечение двух симметричных множеств – симметричное множество.
3. Чтобы проверить функцию на четность и нечетность удобно сначала установить, обладает ли ее область определение свойством симметричности.	3. Область определения четной функции – симметричное множество.
4. Функция является нечетной.	4. Существует числовая функция четная и нечетная одновременно.

Логические связи между суждениями используются как для их обоснования, так и для получения новых суждений посредством еще одной формы мышления – умозаключения.

3. Формирование умозаключений

Def₁₀. Умозаключение – это форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получаются новые суждения.

В обучении математике они принимают вид целей и специальных методов обучения. Основные виды умозаключений:

• индукция (полная, неполная) – вид умозаключения, при котором из одного или нескольких частных суждений получается _________ суждение (метод – индуктивного обобщения), результат неполной индукции правдоподобные суждения, полной индукции – достоверные.

• дедукция – вид умозаключения, при котором по правилам логического вывода осуществляется переход от одного или нескольких суждений - посылок к суждению – ____________, результат - достоверное суждение.

• аналогия (строгая, не строгая) - вид умозаключения, при котором на основании существования некоторых сходных свойств у объектов получают суждение о ___________________. Строгая аналогия основана на существовании между объектами отношения _____________. Метод аналогий используется в обучении математике как метод подведения учащихся к ______________.

• Задание 7. Получите суждение, являющиеся результатом указанного умозаключения, и выясните, является ли оно справедливым:

Исходное (ые) суждение(я)	Вид умозаключения	Суждение-результат
1. При n = 1 и при n = 2 значение функции - простое число	Неполная индукция
2. Площадь тупоугольного и остроугольного треугольников равна ; площадь прямоугольного треугольника равна	Полная индукция
3. Диагонали прямоугольника равны. АВСD – прямоугольник	Дедукция
4. Площадь треугольника равна	Нестрогая аналогия
5. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат	Строгая аналогия

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами курса «Введение в математику» вспомните определение понятия «логическое следование», основные виды логических правил вывода.

Важной задачей обучения математике является формирование умений осуществлять дедуктивные умозаключения и умений проводить доказательства на уровне строгости, соответствующем содержательному доказательству.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами курса «Введение в математику» вспомните, что называется доказательством, чем отличаются содержательные и формальные доказательства, какие существуют методы доказательства математических утверждений (прямое доказательство, косвенный метод доказательства и его разновидности, метод полной математической индукции).

Обучение дедуктивным умозаключениям и доказательству осуществляется в процессе ____________________ доказательства математических суждений с последующей организацией работы по __________, в процессе постановки задач на __________

______, а также через систематическое предъявление к учащимся требований _______

__________________ положениями математической теории, а также посредством запрета на получение суждений посредством ____________________________________.

Технологическая цепочка (методическая схема) работа с доказательством теоремы:

Название этапа	Содержание этапа	Результат
1. Подготовительный этап	Мотивация необходимости установления истинности утверждений посредством его доказательства, подготовка учащихся к восприятию доказательства или к его открытию.	Формирование потребности в доказательстве. Готовность учащихся к пониманию доказательства.
2. Основной этап	Демонстрация учащимся доказательства утверждения или включение их в деятельность самостоятельного проведения доказательства. Включение учащихся в деятельность осмысления хода доказательства.	Формирование готовности к воспроизведению хода доказательства утверждения, к его описанию и анализу.
3. Этап закрепление.	Включение учащихся в деятельность переноса способа доказательства утверждения в сходные ситуации.	Формирование готовности к применению идеи, метода доказательства, отдельных приемов доказательства.