10. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения (вывод).

Объем тела по площади параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S=S(x), a<x<b

1. Через произвольную точку проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считается известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [a;x] величина v есть функция от х, т.е. v=v(x)

2. Находим дифференциал dV функции v=v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и , который приближенно может быть прият за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV=S(x)dx

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dV в пределах от a до b

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y=f(x) > 0, отрезком a < x < b и прямыми x=a, x=b.

Полученная от вращения фигура называется телом вращения.

Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох есть круг радиуса y=f(x) и площадью S(x)=πy²

Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми x=0,y=c,y=d (c<d), то объем тела образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с последней формулой, равен

11. Вычисление длин дуг кривых и площадей поверхности вращения (вывод).

Прямоугольные координаты.

Длина дуги – предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что

1. С помощью точек x₀=a, x₁,x₂,…,x_n=b (x₀<x₁<…<x_n) разобьем отрезок [a;b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точка M₀=A, M₁,…,M_n=B на кривой АВ. Проведем хорды M₀M₁, M₁M₂, … , M_n-1M_n, длины которых обозначим соответственно через .Получим ломаную M₀M₁M₁M₂…M_n-1M_n длина которой равна

2. Длину хорды можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции

Вся длина ломаной M₀…M_n равна

3) Длина кривой l по определению равна

При . Ф-янепрерывна на отрезке [a;b], так как, по условию, непрерывна функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы

Если уравнение кривой задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и ,то длина кривой АВ находится по формуле

Формула получается из предыдущей подстановкой

12. Физический задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). ДУ 1-го порядка. Частные и общее решение ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ. Примеры.

13. Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. После направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин. Примеры.

14. Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные линейные, Бернулли) и их решения. Примеры.

15. ДУ n-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при n=2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Краевая задача.

16. Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.

17. Линейные ДУ (ЛДУ) n-го порядка: однородные (ОЛДУ) и неоднородные. Теорема о существовании и единственности решения. Линейный дифференциальный оператора. Доказать свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ОЛДУ.

18. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Доказать теорему о вронскиане системы линейно зависимых функций и теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений ОЛДУ.

19. Доказать теорему о размерности пространства решений ОЛДУ n-го порядка. Фундаментальная систему решений. Структура общего решения.

20. Формула Остроградского-Лиувилля для ОЛДУ n-го порядка (вывод для n=2) и ее следствия.

21. Доказать теорему о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка и теорему о наложении частных решений.

22. ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням. (вывод для n=2)

23. Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

24. Метод вариации постоянных решения неоднородного ЛДУ n-го порядка (вывод для n=2)

25. Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теоремы о существовании и единственности ее решения. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе, примеры. Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка (вывод n=2), примеры.

26. Автономные системы ДУ. Фазовое пространство и фазовые траектории. Первые интегралы систем ДУ. Симметричная форма записи систем ДУ и ее применение к нахождению первых интегралов. Примеры.

27. Системы ЛДУ 1-го порядка , однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Доказать линейность пространства решений системы ОЛДУ.

28. Вронскиан системы вектор-функций и его свойства. Доказать теорему о размерности пространства решений системы ОЛДУ. Структура общего решения. Фундаментальная система решений.

29. Структура общего решения систем неоднородных ЛДУ. Метод вариации постоянных (вывод).

30. Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).

31. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений системы ДУ. Примеры. Сведение к устойчивости тривиального решения (точка покоя) произвольных и линейных систем ДУ.

32. Классификация точек покоя системы 2-х ОЛДУ с постоянными коэффициентами.

33. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.