Условные обозначения

Пусть f(z) — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени n. При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии z = ic где i — мнимая единица и c — вещественное число). Давайте обозначим P₀(y) (многочлен степени n) и P₁(y) (ненулевой многочлен степени строго меньше чем n) через f(iy) = P₀(y) + iP₁(y), относительно вещественной и мнимой части f мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

• p — число корней f в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);

• q — число корней f в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);

• Δargf(iy) — изменение аргумента f(iy), когда y пробегает от  до ;

• w(x) — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из P₀(y) и P₁(y) с помощью алгоритма Евклида;

•  — индекс Коши рациональной функции r(x) на вещественной прямой.

Пусть f(z) — многочлен Гурвица над комплексными числами, то есть f не имеет комплексных коэффициентов и все корни f лежат в левой полуплоскости. Разложим f в сумму:

f(z) = g(z²) + zh(z).

Обозначим коэффициенты g как , а h — как . Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена g является .

[Править]Формулировка

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса-Гурвица формулируется следующим образом:

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента f(iy) положительно, тогда f(z) имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство  может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть p + q, а w из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае w относится к обобщённой цепочке Штурма).

[Править]Критерий устойчивости Гурвица

Основная статья: Критерий Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если f — многочлен Гурвица, и наоборот.

[Править]Критерий устойчивости Рауса

Основная статья: Критерий Рауса

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами g и h, определяет последовательность  ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если f — многочлен Гурвица, и наоборот.

• Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.

• Обратите также внимание, что в записи  число i — индекс переменной, а не показатель степени.

[Править]Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют стабильные по Гурвицу многочлены.

[Править]Доказательство

Применив метод Гаусса к матрице H_f мы получим диагональную матрицу . Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы  трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу H_f, мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты  соответствуют коэффициентам , мы и получим критерий Рауса.