2. Постановка многокритериальной задачи.

Пусть D – некоторое множество, элементы которого называются допустимыми решениями или альтернативами, а функции заданные на множестве D – числовые функции, называемыми целевыми функциями или критериями. Необходимо найти оптимальное решение из множества D максимизирующее функции на множестве D.

(1)

f(x) – m-вектор-функция аргумента x.

Случаи, когда функции достигают максимума в одной и той же точке крайне редки, поэтому основная проблема при рассмотрении задачи (1) заключается в формализации принципа оптимальности, т.е. определение того, в каком смысле оптимальное решение лучше других.

Компромиссы по Парето

Опр.1. Говорят, что точка доминирует точку , если , i=1,2,…,m и существует номер , что .

Опр.2. Точка называется оптимальной по Паретто (эффективной), если не существует улучшающих х.

Учитывая опр.1 и опр.2 мы заключаем, что множество допустимых решений D разбивается на два непересекающихся множества - (D –согласия) и (D- эффективная). Область согласия не содержит недоминируемых точек (т.е. любая точка множества может быть улучшена). Эффективная область (область компромисса) содержит все эффективные точки. В этой области ни один из критериев не может быть улучшен без ухудшения другого.

Методы сведения многокритериальной задачи (МЗ) к однокритериальной: нормировка критериев, метод аддитивной свертки критериев.

Пусть D – некоторое множество, элементы которого называются допустимыми решениями или альтернативами, а функции заданные на множестве D – числовые функции, называемыми целевыми функциями или критериями. Необходимо найти оптимальное решение из множества D максимизирующее функции на множестве D.

(1)

f(x) – m-вектор-функция аргумента x.

При решении МЗ часто возникает проблема нормирования, т.е. приведения критериев к единому безразмерному виду:

1)замена значений критериев относительными величинами , где .

2)замена значения критерия относительными значениями отклонений от оптимальных значений критериев, т.е. , .

Метод аддитивной свертки критериев.

Пусть критерии соизмеримы и определен вектор весовых коэффициентов , характеризующих значимость соответствующего критерия, причем .

Т.о. решается задача оптимизации скалярного критерия

(2)

Решение задачи (2) эффективно для задачи (1).

Метод главного критерия.

Пусть D – некоторое множество, элементы которого называются допустимыми решениями или альтернативами, а функции заданные на множестве D – числовые функции, называемыми целевыми функциями или критериями. Необходимо найти оптимальное решение из множества D максимизирующее функции на множестве D.

(1)

f(x) – m-вектор-функция аргумента x.

Метод главного критерия заключается в следующем. Все функции, кроме 1-ой, главной, переводится в разряд ограничений.

Пусть - вектор, компоненты которого нижние границы соответствующих критериев. Оптимальным считается решение, при котором критерий достигает своего максимального значения, при условии, что по всем остальным критериям достигнуты значения не меньше заданных. . , , .

Метод ранжирования.

Критерии нумеруются в порядке убывания их важности. На первом шаге решается ЗО по наиболее важному критерию. – область оптимальных решений по первому критерию и т.д. На к-том шаге решается задача , , где - множество оптимальных решений предыдущего шага. Основной недостаток метода – уже на 1-ом шаге множество оптимальных решений может содержать только одну точку. И все остальные критерии не участвуют в оптимизации.

Метод последовательных уступок. Метод целевого программирования

Пусть D – некоторое множество, элементы которого называются допустимыми решениями или альтернативами, а функции заданные на множестве D – числовые функции, называемыми целевыми функциями или критериями. Необходимо найти оптимальное решение из множества D максимизирующее функции на множестве D.

(1)

f(x) – m-вектор-функция аргумента x.

Метод последовательных уступок заключается в следующем.

1)критерии нумеруются в порядке убывания их важности;

2)определяются значения

Лицом, принимающим решение, устанавливается величина уступки по этому критерию.

3) решается задача , ,

Далее 2) и 3) повторяют для критериев . Полученное решение не всегда является эффективным.

Метод целевого программирования.

Пусть решена система однокритериальных задач , , . Получим решение . Определяем скалярную величину , где - элементы положительно определенной матрицы .

Если - единственная матрица, то определяет евклидово расстояние до точки оптимума.

Решение задач , , позволяет найти точку , которая ближе всего находится от точки абсолютного оптимизма в метрическом пространстве с расстоянием .