13. Комбинированные приложения з-чи о максимальном потоке. Простейшая з-ча о назначении.

Пусть имеется исполнителей и работ. Каждый исполнитель может выполнить лишь некоторые работы. Расставить исполнителей на работы т.о., чтобы каждый исполнитель выполнял не более одной работы. Каждая работа выполнялась не более одним исполнителем и общее количество выполняемых работ было бы максимальным.

Информация о том, какие из работ способен выполнять тот или иной исполнитель удобно представить в виде матрицы , , где элементы , если -ый исполнитель может выполнять -ую работу и - в противном случае.

Составим матем. модель данной задачи:

1) введем управляемые переменные , которые могут принимать следующие значения:

; .

.

Приведем графовую модель з-чи о назначении:

;

- мн-во всех исполнителей и работ;

; .

Опр. Граф наз. двудольным, если его мн-во вершин можно разбить на два подмн-ва и т.о., что и любая дуга соединяет вершину с вершиной .

Опр. - рассекающим мн-вом наз. любое подмн-во вершин двудольного графа, если при удалении всех вершин этого мн-ва вместе с инцидентными им дугами разрываются все пути из в .

Теорема Кенига-Эгервари.

Опр. Граф наз. двудольным, если его множество вернин Y можно разбить на 2 подмножества S и T т.о., что . Любая дуга соединяет вершину с вершиной .

Опр. - рассекающим мн-вом называется любое подмножество вершин двудольного графа, если при удалении всех вершин этого мн-ва вместе с инцидентными им дугами разрываются все пути из в .

Теорема. Максимальное число дуг двудольного графа попарно не имеющих общих вершин равно минимальному кол-ву вершин в рассекающем мн-ве.

Док-во. Сведем двудольный граф к сети с одним истоком , и стоком , также введем финивные дуги , , пропускные способности которых положим равными 1.

Пропускные способности двудольного графа положим равными . Решим на модифицированной сети задачу о максимальном потоке. Пусть - ф-ция, реализующая максим. поток на сети. разрез сети. Рассмотрим мн-во дуг . Покажем, что мн-во содержит дуги, попарно не имеющие общих вершин. В каждую вершину мн-ва может попасть поток, не превышающий 1. По построению мн-ва по каждой дуге этого мн-ва течет единичный поток, следовательно, дуги мн-ва не имеют общих начальных вершин. Аналогично можно доказать, что дуги мн-ва не имеют общих конечных вершин. Т.о. по всем дугам мн-ва бежит единичный поток, а по построению данный поток максимален, сл-но, мощность мн-ва равно величине максимального потока: .

Рассмотрим мн-во . Покажем, что является - рассекающим мн-вом. Положим обратное, что не явл-ся - рассекающим мн-вом, т.е. после удаления всех вершин мн-ва остается дуга такая, что , т.е. сущ-ет ненасыщенная дуга , помеченная вершина , не помеченная вершина , которая может быть помечена, т.е. возникающее противоречие док-ет, что мн-во явл-ся -рассекающим мн-вом. Покажем, что мн-во -минимально. Вершины этого мн-ва взаимно-однозначно связаны с вершинами определяющим минимальный разрез, т.е. либо явл-ся началами, либо концами дуг разреза. Поскольку построенный разрез минимален, мощность мн-ва совпадает со всей величиной потока:

Приведем табличный аналог доказанной теоремы.

По двудольному графу строим таблицу , где строки соот-ют исполнителям, а столбцы ребятам; - клетка считается допустимой, если , недопустимые клетки вычеркиваются.

Опр. Две допустимые клетки наз. независимыми, если они не покрываются одним рядом.

Теорема. Максим. кол-во независимых допустимых клеток равно минимальному кол-ву рядов, покрывающих все допустимые клетки.

Алгоритм построения максим. мн-ва независимых допустимых клеток(ММНДК).