2.Среднее значение (момента) случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия.
Под моментом случайной величины подразумевается произведение значения этой величины на вероятность ее обнаружения.
Математическое
ожидание — понятие среднего значения
случайной величины в теории вероятностей.
Обозначается
или иногда
(в русской литературе). В статистике
часто используют обозначение
.
Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число – ее «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием случайной величины Х называется число
(Формула
для дискретных значений)
(Формула
для непрерывных значений)
т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий.
[ Пример. Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения МО следует, что
]
Дисперсия
случайной величины
— мера разброса данной случайной
величины, т. е. её отклонения от
математического ожидания. Обозначается
в русской литературе и
в зарубежной. В статистике часто
употребляется обозначение
или
.
Квадратный корень из дисперсии
называется среднеквадратичным
отклонением, стандартным отклонением
или стандартным разбросом.
Пусть
— случайная величина, определённая на
некотором вероятностном пространстве.
Тогда
где символ
обозначает математическое ожидание.
Свойства
В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю:
Верно и обратное: если
,
то
,
если
независимы;
[Пример
Пусть
случайная величина
имеет стандартное непрерывное равномерное
распределение на
т. е. её плотность вероятности задана
равенством
Тогда
и
Тогда
]
Sources:Мат. ожидание 1, Мат. ожидание 2, Дисперсия
Дополнение: Момент случайной величины
3. Характеристическая функция случайных величин.
Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).
Пусть
есть случайная величина
с распределением
.
Тогда характеристическая функция
задаётся формулой:
.
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:
,
то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.
(Ф1). Характеристическая функция всегда существует:
Полезно
вспомнить, что даже
(Мат. ожидание) существует не всегда.
[
Доказательство.
Воспользуемся свойством
(Дисперсия не может быть отрицательной),
равносильным неравенству
:
(Ф2). По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, плотность или таблица распределения). Другими словами, если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величин совпадают. ]
Формулы, с помощью которых по характеристической функции восстанавливается распределение, в анализе называют формулами "обратного преобразования Фурье". Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения и она находится по формуле
Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.
(Ф3).
Характеристическая функция случайной
величины
связана с характеристической функцией
случайной величины
равенством
[ Пример.
Пусть
имеет распределение Бернулли.
Случайная
величина
имеет распределение Бернулли, если она
принимает всего два значения:
и
с вероятностями
и
соответственно. Таким образом:
,
.
Тогда:
.
]
Sources: Хар. функции 1, Хар. функции 2
Дополение: Хар.функции через привычные обозначения матожидания