Глава XII

О КОЛИЧЕСТВЕ

1. Определение количества. 2. Обозначение количества. 3. Какими способами обозначают линию, плоскость и объ­ем. 4. Как обозначают время. 5. Как обозначают число. 6. Как обозначают скорость. 7. Как обозначают вес. 8. Как обозначают отношение величин. 9. Как обозначают меру отношений отрезков времени и скоростей.

1. О сущности размерности (dimensio) и ее разнообраз­ных видах было сказано выше в главе VIII. Согласно сказанному там, существуют три вида размерности: линия (или длина), плоскость и плотность. Каждый из этих видов в отдельности, если он определен, т. е. если ясно намечены его границы, называется обычно количеством. Под коли­чеством мы понимаем все то, что является ответом на вопрос сколько? На вопрос, как долог путь, не отвечают неопределенно - длина; на вопрос, как велика пашня,- площадь; наконец, на вопрос, как велика масса,- плотное. На эти вопросы отвечают или вполне определенно - путь Длиной 100 000 шагов, пашня в 100 югеров, масса объемом 100 кубических футов, или по крайней мере так, что ве­личина соответствующей вещи может быть представлена

173

в известных границах. Следовательно, количество нельзя определить иначе как известным размером, или размером, границы которого известны по их месту либо благодаря сравнению.

Количество определяют двояким образом. Во-первых, посредством чувств, если нам демонстрируется какой-ни­будь чувственный объект, например линия, плоскость или толщина фута или локтя, запечатленные в какой-нибудь материи. Такого рода определение называется непосред­ственным созерцанием, а познаваемое таким образом ко­личество - наглядно представленным. Во-вторых, коли­чество определяется при помощи памяти путем сравнения с наглядно данным количеством. Руководствуясь первым способом определения количества, на вопрос: как велика какая-нибудь вещь? - мы отвечаем: она так велика, как ты это видишь глазами. Руководствуясь вторым способом, на этот вопрос можно ответить только при помощи сравне­ния с наглядно данной мерой. На вопрос: как велика длина пути? - ответ или гласит: столько-то тысяч шагов,- если мы при этом сравниваем путь с шагом или с какой-нибудь другой чувственной мерой, или указывает, что соответ­ствующее количество относится к какой-нибудь данной мере так, как диагональ квадрата к его стороне, и т. д.

Важно, однако, чтобы наглядная мера оставалась постоян­ной, будучи либо материальной, либо доступной чувствен­ной оценке, ибо иначе невозможно было бы сравнивать что-нибудь с этой мерой. Но так как именно сравнение какой-нибудь величины с другой, согласно выводам пре­дыдущей главы, мы называем отношением, то очевидно, что установленное посредством второго способа количество есть не что иное, как отношение между не данным наглядно протяжением и наглядно данной мерой, т. е. равенство или неравенство указанного протяжения с указанной наглядно данной мерой.

Линию, плоскость и объем обозначают, во-первых, посредством движения в соответствии с тем, как мы опи­сали возникновение этих геометрических элементов в главе VIII; однако это следует делать так, чтобы сохрани­лись следы этого движения. Они должны быть или нане­сены на какую-нибудь материю таким образом, как, например, наносят линию на бумагу, или же врезаны в какую-нибудь материю с большей прочностью. Эти эле­менты могут, во-вторых, быть обозначены путем прибавления: так, линия может быть прибавлена к линии, плоскость - к плоскости, объем - к объему. Это значит, что линию

174

описывают посредством точек, плоскость - посредством линий, объем - посредством плоскостей. При этом, одна­ко, под точками здесь следует понимать очень короткие линии, а под плоскостями - лишь очень тонкие тела. В-третьих, линии и плоскости можно получить с помощью разрезов, линии - разрезая наглядно представленные пло­скости, плоскости - разрезая наглядно представленные тела.

Время обозначают не в виде одной лишь простой линии: для его обозначения требуется еще нечто равно­ мерно движущееся по этой фактической или по предполагаемой линии. Ибо время есть образ движения, поскольку мы представляем себе в последнем раньше и позже, или последовательность. Поэтому для обозначения времени недостаточно лишь описать линию: мы должны одновре­менно мыслить предмет, движущийся по этой линии, и притом движущийся равномерно, так, чтобы мы в зависи­мости от потребности могли делить и соединять время.

Если философы в ходе своих доказательств чертят линию и утверждают, что эта линия должна означать время, то это равнозначно утверждению: понятие равномерного дви­жения по этой линии должно означать время. Так, окруж­ности циферблатов, хотя они и представляют собой линии, недостаточны для определения времени: для этого требу­ется еще движение чего-нибудь, например тени или стрелки.

Числа обозначают или при помощи точек, или при помощи названия чисел (один, два, три и т. д.). Точки, однако, не должны при этом соприкасаться, и поэтому их следует отделить друг от друга знаками. Они должны быть расставлены таким образом, чтобы их можно было отличить друг от друга. Этим и объясняется то обстоя­тельство, что число называется прерывным количеством (quantitas discreta), между тем как всякое количество, которое характеризуется движением, именуется непре­рывным. При обозначении чисел посредством названий или цифр необходимо закрепить их в памяти в твердом порядке как ряд: один, два, три и т. д. Простое повторение единицы с прибавлением еще одной единицы скоро привело бы нас к тому, что мы не знали бы, какое число перед нами. Мы не пошли бы дальше трех, причем и число три пред­ставлялось бы нам не как число, а как фигура.

Для обозначения скорости (которая, согласно опре­делению, есть движение, совершаемое движущимся телом в определенном пространстве за определенный промежуток

175

времени) требуется обозначить три вещи: время, простран­ство, пройденное движущимся телом, скорость, которую мы хотим обозначить, а также само движущееся в этом пространстве тело. Нужно провести две линии. Одна линия служит для того, чтобы обозначить время, поскольку мы представляем себе, что вдоль нее совершается равно­мерное движение, необходимое для определения времени; другая линия изображает скорость. Если, например, нам нужно сделать наглядной скорость движущегося тела А, то мы проводим две линии (АВ и CD)

А В

С D

и помещаем в точку С какое-либо тело. Скорость движения тела А будет определяться тогда тем, что оно проходит расстояние АВ в тот же промежуток времени, в который тело С пройдет расстояние CD в равномерном движении.

Вес мы обозначаем с помощью любого тяжелого тела, состоящего из любой материи, лишь бы это тело всегда имело эту или иную тяжесть.

Об отношениях величин получают представление одновременно с самими этими величинами. Отношение неравенства мы обозначаем тогда, когда нам даны неравномерные величины, отношение равенства - когда нам даны величины равные.

Так как отношение неравных величин, согласно опре­делению, данному в пункте 5 главы XI, состоит в отноше­нии их разницы к одной из этих величин и так как, далее, вместе с обозначением неравных величин дается и их раз­ница, то отсюда следует, что обозначение величин, находя­щихся в пропорциональном отношении, одновременно наглядно представляет нам и само это отношение. Подоб­ным же образом и отношение разных величин (состоящее в том, что между величинами нет никакой разницы) дается одновременно с обозначением этих величин.

Если, например, даны равные линии АВ и CD,

А В

С D

E G F

то существующее между ними отношение равенства не­посредственно доступно созерцанию. Если же линии EF и EG неравны, то этим дано как отношение EF к EG, так и

176

отношение EG к EF, так как разница обеих изображенных линиями величин выражена линией GF. Отношение не­равных величин есть количество, так как оно выражается разницей GF, которая есть количество. Отношение же равенства не есть количество, так как между величинами нет разницы, а из равенств одно не может быть больше другого (что бывает при неравенствах).

9. Отношение двух промежутков времени или скоростей двух равномерных движений обозначают двумя линиями, вдоль которых, как мы себе представляем, равномерно движутся два тела. В зависимости от того, принимаем ли мы обе эти линии за изображения величин, времен или скоростей, они будут представлять или отношение друг к другу, или отношение времен, или отношение скоростей. Так, пусть линии А и В

A

B

прежде всего наглядно представляют отношение друг к другу. Если же затем мы представим себе, что вдоль этих линий равномерно с равной скоростью движутся тела, и если связанные с движением этих тел промежутки времени будут относиться друг к другу как большие, меньшие или равные в соответствии с пройденным в это большее, мень­шее или равное время путем, то линии А и В будут пред­ставлять равенство или неравенство, т. е. отношение этих промежутков времени. Если, наконец, мы предположим, что линии А и В пройдены в один и тот же промежуток времени, то они будут представлять равенство или не­равенство, т. е. отношение, скоростей, ибо скорости бывают большими, меньшими или равными в зависимости от того, проходят ли движущиеся тела в одинаковое время боль­шие, меньшие или равные отрезки пространства.