Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке, то ее производнаялибо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: , называютсястационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производнаяне существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

7. Экстремум функции. Достаточные условия.

Понятие экстремума функции

Определение

Точка называетсяточкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство:.

Точка называетсяточкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всехиз этой окрестности.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка называется точкойстрогого локального максимума функции , если для всехиз окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство.

Точка называется точкойстрогого локального минимума функции , если для всехиз окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;

2.  или не существует;

3. производная при переходе через точкуменяет свой знак.

Тогда в точке функцияимеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точкупроизводная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точкупроизводная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точкуне меняет знак, то экстремума в точкенет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

1. найти производную ;

2. найти критические точки, то есть такие значения , в которыхилине существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;

2. первая производная в точке;

3.  в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если, то в точкефункцияимеет минимум; если, то в точкефункциядостигает максимум.

7. Асимптоты графика. Определение.

Прямая линия называется асимптотой кривой , если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

7. Виды асимптот.