- •1. Функции. Основные определения и свойства. Способы задания. Классификация.
- •Способы задания функции
- •1)Аналитический способ
- •2)Табличный способ
- •3)Графический способ
- •2. Предел функции точке. Односторонние пределы.
- •Предел функции на бесконечности. Бесконечно большая функция
- •Сравнение бесконечно малых Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величиныи(либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
- •Раскрытие неопределенностей
- •Непрерывность функции на промежутке
- •Точка разрыва первого рода
- •Точка разрыва второго рода
- •Свойства функций непрерывных на отрезке:
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Формула
- •Доказательство
- •Доказательство Отношение бесконечно малых
- •Отношение бесконечно больших Докажем теорему для неопределённостей вида .
- •Производные высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Понятие экстремума функции
- •Необходимое условие экстремума
- •Понятие экстремума функции
- •Первое достаточное условие экстремума
- •Виды асимптот
- •Производная степенно-показательной функции
Инвариантность формы дифференциала
Формула дифференциала функции имеет вид
,
где - дифференциал независимой переменной.
Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где,.Тогда по формуле производной сложной функции находим
,
так как .
Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменнойи для промежуточного аргумента, представляющего собой дифференцируемую функцию от.
Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала. Заметим, что производная этим свойством не обладает.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращениех. Функция получит приращение у. Найдем .
.
Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.
Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.
Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.
Дифференциал. Геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Определение
Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается какили. Таким образом:
Замечание
Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.
Замечание
Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:
Замечание
Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:
Отсюда получаем, что
Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента.
Основные правила дифференцирования. Производная постоянной, производная суммы.
Пусть функции иимеют производные в точке. Тогда
1. Константу можно выносить за знак производной.
5. Дифференциал константы равен нулю.
2. Производная суммы/разности.
Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.
Основные правила дифференцирования. Производная произведения.
3. Производная произведения.
Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции.
5. Производная сложной функции.
Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргументапо основному аргументу.
и имеют производные соответственно в точкахи. Тогда
Теорема
(О производной обратной функции)
Если функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точкии дифференцируема в этой точке, то обратная функцияимеет производную в точке, причем.
Формулы дифференцирования. Производная показательной функции.