Формула

Производная показательной функции равна произведению этой функции на натуральный логарифм основания степени.

Заметим, что если аргумент у показательной функции есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто ), то производную нужно находить по следующей формуле:

7. Формулы дифференцирования. Производная тригонометрических функций.

7. Формулы дифференцирования. Производная обратных тригонометрических функций.

7. Основные теоремы дифференциального исчисления (т. Ферма).

Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Формулировка

Пусть функция имеет во внутренней точке области определениялокальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производныеконечные или бесконечные. Тогда

если — точка локального максимума, то

если — точка локального минимума, то

В частности, если функция имеет впроизводную, то

Доказательство

Предположим, что . Тогда.Поэтому:

,

.

Если производная определена, то получаем

,

то есть

7. Основные теоремы дифференциального исчисления (т. Ролля).

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале, принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

7. Основные теоремы дифференциального исчисления (т. Лагранжа).

Теорема Лангража (о конечных приращениях):

Пусть функция непрерывна наи дифференцируема на.

Тогда существует хотя бы одна из, для которой выполняется следующее равенство:.

Доказательство:

Введем функцию . (непрерывная наи дифференцируемая на).

,

Функция удовлетворяет Теореме Роллясуществует, для которой:,,,.

7. Основные теоремы дифференциального исчисления (т. Коши).

Теорема Коши́ о среднем значении.

Пусть даны две билинейные формы итакие, что:

1. и определены и непрерывны на отрезке;

2. производные иконечны на интервале;

3. производные ине обращаются в нуль одновременно на интервале

4. ;

тогда существует , для которой верно:.

(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале .)

Доказательство:

Введем функцию . (непрерывная наи дифференцируемая на).

Функция удовлетворяет Теореме Роллясуществует, для которой:,,,.

7. Правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя:

1. либо ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,тогда существует .